Nos itens abaixo, determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas a sua aceleração, velocidade inicial e posição inicial.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores velocidade $ v(t) $ e posição $ s(t) $ de uma partícula. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, já que vamos integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição. A gente tem a aceleração $ a(t) = (2, 6t, 12t^2) $, a velocidade inicial $ v(0) = (1, 0, 0) $ e a posição inicial $ s(0) = (0, 1, -1) $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade $ v(t) $. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então, vamos integrar cada componente de $ a(t) $:
Passo 3
Vamos fazer as integrais:
Então, a velocidade fica:
Passo 4
Agora, a gente usa a condição inicial $ v(0) = (1, 0, 0) $ para achar as constantes:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Então, a velocidade é:
Passo 5
Agora, vamos achar a posição $ s(t) $ integrando a velocidade:
Passo 6
Fazendo as integrais:
Então, a posição fica:
Passo 7
Usamos a condição inicial $ s(0) = (0, 1, -1) $ para encontrar as constantes:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Então, a posição é:
Resposta
A velocidade e a posição da partícula são dadas por: