Nos itens abaixo, determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas a sua aceleração, velocidade inicial e posição inicial.
a(t)=(2,6 t, 12 t^2), v(0)=(1,0,0), s(0)=(0,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores velocidade $ v(t) $ e posição $ s(t) $ de uma partícula. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, já que vamos integrar a aceleração para achar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição. A gente tem a aceleração $ a(t) = (2, 6t, 12t^2) $, a velocidade inicial $ v(0) = (1, 0, 0) $ e a posição inicial $ s(0) = (0, 1, -1) $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade $ v(t) $. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então, vamos integrar cada componente de $ a(t) $:
v(t)

Passo 3

Vamos fazer as integrais:
integral 2 , dt = 2t + C1
integral 6t , dt = 3t^2 + C2
integral 12t^2 , dt = 4t^3 + C3
Então, a velocidade fica:
v(t) = (2t + C1, 3t^2 + C2, 4t^3 + C3)

Passo 4

Agora, a gente usa a condição inicial $ v(0) = (1, 0, 0) $ para achar as constantes:
Para a primeira componente:
v(0) = (1, 0, 0)
Para a segunda componente:
2(0) + C1 = 1 Rightarrow C1 = 1
Para a terceira componente:
3(0)^2 + C2 = 0 Rightarrow C2 = 0
Então, a velocidade é:
4(0)^3 + C3 = 0 Rightarrow C3 = 0

Passo 5

Agora, vamos achar a posição $ s(t) $ integrando a velocidade:
s(t)

Passo 6

Fazendo as integrais:
integral (2t + 1) , dt = t^2 + t + D1
integral 3t^2 , dt = t^3 + D2
integral 4t^3 , dt = t^4 + D3
Então, a posição fica:
s(t) = (t^2 + t + D1, t^3 + D2, t^4 + D3)

Passo 7

Usamos a condição inicial $ s(0) = (0, 1, -1) $ para encontrar as constantes:
Para a primeira componente:
s(0) = (0, 1, -1)
Para a segunda componente:
(0)^2 + 0 + D1 = 0 Rightarrow D1 = 0
Para a terceira componente:
(0)^3 + D2 = 1 Rightarrow D2 = 1
Então, a posição é:
(0)^4 + D3 = -1 Rightarrow D3 = -1

Resposta

A velocidade e a posição da partícula são dadas por:
v(t) = (2t + 1, 3t^2, 4t^3)
s(t) = (t^2 + t, t^3 + 1, t^4 - 1)

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