Prove pela definição de limite que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando a definição de limite, que:
Aqui estamos lidando com o conceito de limite de uma função. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite, que envolve mostrar que, para todo número pequeno positivo
, existe um número
correspondente que satisfaz certas condições. Vamos desvendar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite:
Para a função
e o limite
, dizemos que o limite é
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
.
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar expressando
com os valores específicos:
Queremos que isso seja menor que
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma maneira de relacionar
com
, já que a definição de limite usa
em termos de
.
Vamos fatorar
:
Portanto:
Passo 5
Queremos que
.
Para controlar
, vamos supor que
está próximo de 2. Vamos escolher
, assim, se
, então
está entre 1 e 3. Portanto:
Então,
.
Passo 6
Agora, sabemos que:
Queremos que isso seja menor que
:
Passo 7
Então, para garantir que
, basta escolher
.
Assim, sempre que
, teremos
, ou seja,
.
Resposta
Portanto, seguindo a definição de limite, provamos que: