Prove pela definição de limite que:
lim x 2(1-x^2)=-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar, usando a definição de limite, que:
lim x 2(1 - x^2) = -3
Aqui estamos lidando com o conceito de limite de uma função. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite, que envolve mostrar que, para todo número pequeno positivo epsilon, existe um número de correspondente que satisfaz certas condições. Vamos desvendar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite:
Para a função f(x) e o limite L = limx to a f(x), dizemos que o limite é L se, para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que, sempre que 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < epsilon.
No nosso caso, f(x) = 1 - x^2, a = 2 e L = -3.

Passo 3

Vamos começar expressando |f(x) - L| com os valores específicos:
|f(x) - L| = |(1 - x^2) - (-3)| = |1 - x^2 + 3| = |4 - x^2|
Queremos que isso seja menor que epsilon:
|4 - x^2| < epsilon

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma maneira de relacionar |4 - x^2| com |x - 2|, já que a definição de limite usa de em termos de |x - a|.
Vamos fatorar 4 - x^2:
4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)
Portanto:
|4 - x^2| = |2 - x||2 + x|

Passo 5

Queremos que |4 - x^2| = |2 - x||2 + x| < epsilon.
Para controlar |2 + x|, vamos supor que x está próximo de 2. Vamos escolher de, assim, se |x - 2| < 1, então x está entre 1 e 3. Portanto:
|2 + x| <= |2| + |x| <= 2 + 3 = 5
Então, |2 + x| <= 5.

Passo 6

Agora, sabemos que:
|2 - x||2 + x| <= 5|2 - x|
Queremos que isso seja menor que epsilon:
5|2 - x| < epsilon implies |2 - x| < epsilon5

Passo 7

Então, para garantir que |4 - x^2| < epsilon, basta escolher de.
Assim, sempre que 0 < |x - 2| < de, teremos |1 - x^2 - (-3)| < epsilon, ou seja, |1 - x^2| < epsilon.

Resposta

Portanto, seguindo a definição de limite, provamos que:
lim x 2(1 - x^2) = -3

Exercícios relacionados