Encontre os vértices e os focos da elipse. Faça um esboço da elipse.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os vértices e os focos de uma elipse, além de fazer um esboço dela. A equação que temos é:
Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com as propriedades das elipses. Para resolver, vamos precisar identificar alguns parâmetros importantes da elipse, como os valores de a e b, que determinam os vértices e os focos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de a e b na equação da elipse. A forma padrão da equação de uma elipse centrada na origem é:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que
e
. Então, tirando a raiz quadrada de ambos, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vértices da elipse. Os vértices são os pontos mais afastados do centro ao longo dos eixos maior e menor.
Como
, isso significa que os eixos maior e menor têm o mesmo comprimento. Ou seja, a elipse é, na verdade, um círculo com raio igual a 10.
Então, os vértices serão os pontos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os focos da elipse. A distância dos focos ao centro é dada por:
Substituindo os valores:
Como
, os focos coincidem com o centro da elipse. Portanto, o único foco está na origem, no ponto
.
Passo 5
Por fim, vamos fazer o esboço da elipse. Como vimos que
, a elipse é um círculo com raio 10 centrado na origem. Então, basta desenhar um círculo com raio 10 unidades, centrado em
.
Resposta
- Vértices:
, , , - Foco:
- Esboço: Um círculo com raio 10 unidades centrado na origem.