Encontre os vértices e focos da seção cônica.
(x-37)^2-(y+14)^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os vértices e focos da seção cônica dada por l(tfracx-37r)^2 - l(tfracy+14r)^2 = 1. O conteúdo envolvido é identificação e propriedades de uma hipérbole na forma padrão, onde vamos usar os parâmetros do seu centro, semi-eixo real a, semi-eixo imaginário b e a distância focal c.

Passo 2

Observando a equação na forma padrão de hipérbole horizontal, temos o centro (h,k) = (3, -1), o semi-eixo real a = 7 (vem do denominador de x) e o semi-eixo imaginário b = 4 (vem do denominador de y). A hipérbole abre-se para a esquerda e para a direita.

Passo 3

Para encontrar a distância focal c, usamos a relação característica da hipérbole:
c^2 = a^2 + b^2

Passo 4

Substituindo a = 7 e b = 4:
c^2 = 7^2 + 4^2 = 49 + 16 = 65 Longrightarrow c = raiz65

Passo 5

Os vértices ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo transverso (horizontal). Logo,
(x,y) = (h pm a,; k) = (3 pm 7,; -1)

Passo 6

Ou seja, os vértices são (10,-1) e (-4,-1).

Passo 7

Os focos ficam a uma distância c do centro também ao longo do eixo transverso. Logo,
(x,y) = (h pm c,; k) = l(3 pm raiz65,; -1r)

Passo 8

Portanto, os focos são (3+raiz65, -1) e (3-raiz65, -1).

Resposta

Vértices: (10, −1) e (−4, −1)
Focos: (3+raiz65, -1) e (3-raiz65, -1)

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