Encontre os vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios de seus lados são P=(3,7), Q=(-4,0) e R=(1,-4).

Passo 1

O enunciado dá os pontos médios dos lados de um triângulo: P=(3,7), Q=(-4,0) e R=(1,-4). Queremos achar os vértices A, B e C. Vamos usar a fórmula do ponto médio, que diz que o ponto médio de dois vértices é a média das coordenadas.

Passo 2

Rotulemos P como ponto médio do lado BC, Q como ponto médio de CA e R como ponto médio de AB. Assim temos as equações
\frac{B + C}{2} = P,\qquad \frac{C + A}{2} = Q,\qquad \frac{A + B}{2} = R.

Passo 3

Escrevendo cada componente coordenada, as equações ficam
B + C = 2P,\quad C + A = 2Q,\quad A + B = 2R.
Para isolar A, por exemplo, some as duas primeiras e subtraia a terceira:
(B + C) + (C + A) - (A + B) = 2P + 2Q - 2R \;\Longrightarrow\; A = Q + R - P.
De modo análogo,
B = P + R - Q, \qquad C = P + Q - R.

Passo 4

Agora é só calcular somando e subtraindo coordenadas: A = Q + R - P = (-4,0) + (1,-4) - (3,7) \;\;= (-4 + 1 - 3,\;0 - 4 - 7) = (-6,-11). B = P + R - Q = (3,7) + (1,-4) - (-4,0) \;\;= (3 + 1 + 4,\;7 - 4 - 0) = (8,3). C = P + Q - R = (3,7) + (-4,0) - (1,-4) \;\;= (3 - 4 - 1,\;7 + 0 + 4) = (-2,11).

Resposta

A = (-6,-11), B = (8,3) e C = (-2,11).

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