Encontre o vetor c que bissecta o ângulo entre os vetores a=(7,-4,-4) e b=(-2,-1,2) e é tal que |c|=5 raiz6.

Passo 1

O enunciado dá os vetores vec a=(7,-4,-4) e vec b=(-2,-1,2) e pede um vetor vec c que bissecte o ângulo entre vec a e vec b e satisfaça |vec c|=5raiz6. O conteúdo usado será a construção da bissetriz interna de um ângulo em R^3: somar os versores de vec a e vec b e depois escalonar para a norma desejada.

Passo 2

Calcular as normas de vec a e vec b e os versores correspondentes
|vec a| = raiz7^2 +(-4)^2 +(-4)^2 = 9, |vec b| = raiz(-2)^2 +(-1)^2 +2^2 = 3
Logo os versores são
hat u = vec a|vec a| = l(tfrac79,-tfrac49,-tfrac49r), hat v = vec b|vec b| = l(-tfrac23,-tfrac13,tfrac23r)

Passo 3

Formar a soma
vec s = hat u + hat v = l(tfrac79-tfrac23,, -tfrac49-tfrac13,, -tfrac49+tfrac23r) = l(tfrac19,-tfrac79,tfrac29r)
E sua norma
|vec s| = raizl(tfrac19r)^2 + l(-tfrac79r)^2 + l(tfrac29r)^2 = raiz549 = raiz63

Passo 4

O versor bissetor interno é
hat e = vec s|vec s| = l(tfrac19,-tfrac79,tfrac29r)tfracraiz63 = 13raiz6,(1,-7,2)
Para obter vec c com norma 5raiz6, basta escalar:
vec c = 5raiz6,hat e = 5raiz6,13raiz6,(1,-7,2) = 53,(1,-7,2)

Resposta

vec c = l(tfrac53,-tfrac353,tfrac103r)

Exercícios relacionados