Sejam os pontos P=(1,2,0), Q=(3,1,1) e R=(1,-1,1), e os vetores u=O P, v=O Q e w=O R.
a) Determine a altura relativa à base de lados O P e O Q do paralelepípedo P que tem por vértices O, P, Q e R.
b) Calcule a area do triângulo T de vértices P, Q e R.
c) Calcule o volume do paralelepípedo P.

Passo 1

O enunciado dá os pontos P=(1,2,0), Q=(3,1,1) e R=(1,-1,1) e define os vetores
u=OP, v=OQ e w=OR.
Precisamos de três coisas:
  1. A altura do paralelepípedo sobre a base gerada por u e v.
  2. A área do triângulo de vértices P,Q,R.
  3. O volume do paralelepípedo gerado por u,v,w.
    Para isso vamos usar produto vetorial para áreas de paralelogramos e triângulos, e produto misto (escalar triplo) para o volume.

Passo 2

Calcular a área da base (paralelogramo) gerada por u e v.
Temos
u=(1,2,0), v=(3,1,1)
O produto vetorial é
utimesv = i&j&k 1&2&0 3&1&1 =(2cdot1-0cdot1),i-(1cdot1-0cdot3),j+(1cdot1-2cdot3),k =(2,-1,-5)
A área da base é
llvertutimesvrrvert =raiz2^2+(-1)^2+(-5)^2 =raiz30

Passo 3

Calcular o escalar triplo ucdot(vtimesw) e a altura.
Primeiro w=(1,-1,1), então
vtimesw = i&j&k 3&1&1 1&-1&1 =(1cdot1-1cdot(-1)),i-(3cdot1-1cdot1),j+(3cdot(-1)-1cdot1),k =(2,-2,-4)
O escalar triplo é
ucdot(vtimesw) =(1,2,0)cdot(2,-2,-4) =1cdot2+2cdot(-2)+0cdot(-4) =-2,
cujo valor absoluto é ,2. A altura h é o volume dividido pela área da base:
h=llvertucdot(vtimesw)rrvert llvertutimesvrrvert =2raiz30

Passo 4

Calcular a área do triângulo PQR.
Formamos os vetores do triângulo saindo de P:
PQ=v-u=(3-1,,1-2,,1-0)=(2,-1,1),
PR=w-u=(1-1,,-1-2,,1-0)=(0,-3,1)
O produto vetorial é
PQtimesPR = i&j&k 2&-1&1 0&-3&1 =( -1cdot1-1cdot(-3)),i-(2cdot1-1cdot0),j+(2cdot(-3)-(-1)cdot0),k =(2,-2,-6)
A área do triângulo é metade da magnitude:
Atriang<= PQR =tfrac12llvertPQtimesPRrrvert =tfrac12raiz2^2+(-2)^2+(-6)^2 =tfrac12raiz44 =raiz11

Passo 5

Calcular o volume do paralelepípedo P.
O volume é o valor absoluto do escalar triplo já calculado:
V=llvertucdot(vtimesw)rrvert =2

Resposta

a) h=2raiz30.
b) AT=raiz11.
c) V=2.

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