Considere os pontos
e
.
Qual a equação cartesiana do plano
que contém
e
?
Qual a equação cartesiana do plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: $ A = (2, -1, 5) $, $ B = (-1, 0, 5) $ e $ C = (1, 2, 3) $. A missão é encontrar a equação do plano que passa por esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. A gente pode usar os vetores $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $. Para achar esses vetores, subtraímos as coordenadas dos pontos:
Passo 3
Agora, para encontrar a normal do plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano, vamos calcular o produto vetorial de $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $. O produto vetorial é uma operação que dá um vetor perpendicular aos dois vetores iniciais.
Calculando o determinante:
Podemos simplificar dividindo por -2:
Passo 4
Com o vetor normal $ \vec{n} = (1, 3, 4) $ e um ponto qualquer do plano, por exemplo, o ponto $ A = (2, -1, 5) $, podemos usar a fórmula geral da equação do plano:
Onde $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_0, y_0, z_0) $ são as coordenadas do ponto.
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Resposta
A equação cartesiana do plano $ \pi $ que contém os pontos $ A, B $ e $ C $ é: