Considere os pontos A=(2,-1,5), B=(-1,0,5), C=(1,2,3) e D=(1,4,0).
Qual a equação cartesiana do plano pi que contém A, B e C ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: $ A = (2, -1, 5) $, $ B = (-1, 0, 5) $ e $ C = (1, 2, 3) $. A missão é encontrar a equação do plano que passa por esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. A gente pode usar os vetores $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $. Para achar esses vetores, subtraímos as coordenadas dos pontos:
AB
AC

Passo 3

Agora, para encontrar a normal do plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano, vamos calcular o produto vetorial de $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $. O produto vetorial é uma operação que dá um vetor perpendicular aos dois vetores iniciais.
AB
Calculando o determinante:
AC
n = AB times AC = i & j & k -3 & 1 & 0 -1 & 3 & -2
n = i cdot (1 cdot (-2) - 0 cdot 3) - j cdot (-3 cdot (-2) - 0 cdot (-1)) + k cdot (-3 cdot 3 - 1 cdot (-1))
Podemos simplificar dividindo por -2:
n = i cdot (-2) - j cdot (6) + k cdot (-9 + 1)

Passo 4

Com o vetor normal $ \vec{n} = (1, 3, 4) $ e um ponto qualquer do plano, por exemplo, o ponto $ A = (2, -1, 5) $, podemos usar a fórmula geral da equação do plano:
n = (1, 3, 4)
Onde $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_0, y_0, z_0) $ são as coordenadas do ponto.
Substituindo:
A = (2, -1, 5)

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
x - 2 + 3y + 3 + 4z - 20 = 0
x + 3y + 4z - 19 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano $ \pi $ que contém os pontos $ A, B $ e $ C $ é:
pi

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