Se \mathbf{R}^{\prime}(t)=e^{t} \operatorname{sen} t \mathbf{i}+e^{t} \cos t \mathbf{j} e \mathbf{R}(0)=\mathbf{i}-\mathbf{j}, ache \mathbf{R}(t).

Passo 1

O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
  • Informação 1: \mathbf{R}^{\prime}(t)=e^{t}\sin t\,\mathbf{i}+e^{t}\cos t\,\mathbf{j}.
  • Informação 2: \mathbf{R}(0)=\mathbf{i}-\mathbf{j}.
  • Pergunta: achar \mathbf{R}(t), isto é, encontrar a função vetorial cuja derivada é a dada e que satisfaz a condição inicial.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): quando uma função vetorial \mathbf{R}(t) tem derivada conhecida componente a componente, podemos recuperar \mathbf{R}(t) integrando cada componente e adicionando uma constante vetorial. Em termos matemáticos, se
\mathbf{R}'(t)=f(t)\,\mathbf{i}+g(t)\,\mathbf{j},
então
\mathbf{R}(t)=\left(\int f(t)\,dt\right)\mathbf{i}+\left(\int g(t)\,dt\right)\mathbf{j}+\mathbf{C},
onde \mathbf{C} é um vetor constante que ajustamos com a condição inicial. Vou integrar as duas componentes separadamente e depois usar \mathbf{R}(0) para encontrar \mathbf{C}.

Passo 3

Integração da componente i: calcular \int e^{t}\sin t\,dt.
Defina
I=\int e^{t}\sin t\,dt.
Usamos integração por partes duas vezes. Primeiro, escolha u=\sin t e dv=e^{t}dt. Então du=\cos t\,dt e v=e^{t}. Logo
I=e^{t}\sin t-\int e^{t}\cos t\,dt.
Chame a integral restante de
J=\int e^{t}\cos t\,dt.
Então temos
I=e^{t}\sin t - J.
Agora calcule J por partes: escolha u=\cos t e dv=e^{t}dt. Então du=-\sin t\,dt e v=e^{t}. Assim
J=e^{t}\cos t-\int e^{t}(-\sin t)\,dt=e^{t}\cos t+\int e^{t}\sin t\,dt=e^{t}\cos t+I.
Substituindo J em I=e^{t}\sin t-J obtemos
I=e^{t}\sin t-(e^{t}\cos t+I)=e^{t}\sin t-e^{t}\cos t-I.
Reagrupando:
2I=e^{t}(\sin t-\cos t).
Portanto
I=\frac{1}{2}e^{t}(\sin t-\cos t)+C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 4

Integração da componente j: calcular \int e^{t}\cos t\,dt.
Já derivamos uma relação para J acima: J=e^{t}\cos t+I. Substituindo I encontrado no Passo 3,
J=e^{t}\cos t+\frac{1}{2}e^{t}(\sin t-\cos t)+C_2,
onde C_2 é constante (poderíamos absorver constantes). Simplificando o termo em e^{t}:
J=\frac{1}{2}e^{t}(\sin t+\cos t)+C_2.
Portanto
\int e^{t}\cos t\,dt=\frac{1}{2}e^{t}(\sin t+\cos t)+C_2.

Passo 5

Escrevendo a função vetorial geral pela integração componente a componente e juntando as constantes em um vetor constante \mathbf{C}=C_1\mathbf{i}+C_2\mathbf{j}, temos
\mathbf{R}(t)=\left(\frac{1}{2}e^{t}(\sin t-\cos t)+C_1\right)\mathbf{i}+\left(\frac{1}{2}e^{t}(\sin t+\cos t)+C_2\right)\mathbf{j}.

Passo 6

Aplicar a condição inicial \mathbf{R}(0)=\mathbf{i}-\mathbf{j} para determinar C_1 e C_2.
Calcule \mathbf{R}(0) a partir da expressão geral. Em t=0 temos e^{0}=1, \sin 0=0, \cos 0=1. Assim as componentes valem
\text{componente }i:\\ \frac{1}{2}\bigl(0-1\bigr)+C_1=-\frac{1}{2}+C_1,
\text{componente }j:\\ \frac{1}{2}\bigl(0+1\bigr)+C_2=\frac{1}{2}+C_2.
Pela condição inicial estas devem ser iguais a 1 e -1, respectivamente. Então
-\frac{1}{2}+C_1=1\quad\Rightarrow\quad C_1=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},
\frac{1}{2}+C_2=-1\quad\Rightarrow\quad C_2=-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}.

Passo 7

Substituindo C_1=\frac{3}{2} e C_2=-\frac{3}{2} na expressão geral obtemos a solução final:
\mathbf{R}(t)=\left(\frac{1}{2}e^{t}(\sin t-\cos t)+\frac{3}{2}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{1}{2}e^{t}(\sin t+\cos t)-\frac{3}{2}\right)\mathbf{j}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{R}(t)=\left(\frac{1}{2}e^{t}(\sin t-\cos t)+\frac{3}{2}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{1}{2}e^{t}(\sin t+\cos t)-\frac{3}{2}\right)\mathbf{j}

Exercícios relacionados