Se
e
, ache
.
Passo 1
O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
- Informação 1:
. - Informação 2:
. - Pergunta: achar
, isto é, encontrar a função vetorial cuja derivada é a dada e que satisfaz a condição inicial.
Passo 2
Ideia básica (explicação didática): quando uma função vetorial
tem derivada conhecida componente a componente, podemos recuperar
integrando cada componente e adicionando uma constante vetorial. Em termos matemáticos, se
então
onde
é um vetor constante que ajustamos com a condição inicial. Vou integrar as duas componentes separadamente e depois usar
para encontrar
.
Passo 3
Integração da componente
: calcular
.
Defina
Usamos integração por partes duas vezes. Primeiro, escolha
e
. Então
e
. Logo
Chame a integral restante de
Então temos
Agora calcule
por partes: escolha
e
. Então
e
. Assim
Substituindo
em
obtemos
Reagrupando:
Portanto
onde
é constante de integração.
Passo 4
Integração da componente
: calcular
.
Já derivamos uma relação para
acima:
. Substituindo
encontrado no Passo 3,
onde
é constante (poderíamos absorver constantes). Simplificando o termo em
:
Portanto
Passo 5
Escrevendo a função vetorial geral pela integração componente a componente e juntando as constantes em um vetor constante
, temos
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
e
.
Calcule
a partir da expressão geral. Em
temos
,
,
. Assim as componentes valem
Pela condição inicial estas devem ser iguais a
e
, respectivamente. Então
Passo 7
Substituindo
e
na expressão geral obtemos a solução final: