Encontre o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
e^{3 t} \mathbf{i}+\frac{1}{t-1} \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado dá a derivada de uma função vetorial e pede para encontrarmos o vetor mais geral cuja derivada é essa função. Dados fornecidos:
\mathbf{r}'(t)=e^{3t}\,\mathbf{i}+\frac{1}{t-1}\,\mathbf{j}.
Pergunta: encontrar \mathbf{r}(t) tal que \mathbf{r}'(t) seja igual à expressão acima. Observação imediata: a segunda componente tem \frac{1}{t-1}, logo o domínio precisa excluir t=1.

Passo 2

Vamos integrar componente a componente. Primeiro, a componente \mathbf{i}: temos que encontrar uma função x(t) tal que x'(t)=e^{3t}. Recordando a fórmula de antiderivada da exponencial: para constante a\neq0,
\int e^{at}\,dt=\frac{1}{a}e^{at}+C.
Aqui a=3, logo uma primitiva de e^{3t} é
x(t)=\frac{1}{3}e^{3t}+C_1,
onde C_1 é uma constante real (porque a derivada de uma constante é zero).

Passo 3

Agora a componente \mathbf{j}: queremos y(t) tal que y'(t)=\dfrac{1}{t-1}. Usamos a substituição u=t-1 ou a fórmula direta
\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C.
Com u=t-1 obtemos
y(t)=\ln|t-1|+C_2,
onde C_2 é outra constante real. Reforço: o valor absoluto é necessário porque o logaritmo natural exige argumento não nulo e pode ser tanto positivo quanto negativo; além disso t\neq1.

Passo 4

Juntando as componentes \mathbf{i} e \mathbf{j} obtemos a função vetorial mais geral (no plano) cuja derivada é a dada:
\mathbf{r}(t)=\left(\frac{1}{3}e^{3t}+C_1\right)\mathbf{i}+\left(\ln|t-1|+C_2\right)\mathbf{j},
com C_1,C_2\in\mathbb{R} constantes arbitrárias. Essas constantes aparecem porque qualquer constante desaparece ao derivar.

Passo 5

Verificação rápida (importante para a prova): derivando a expressão acima temos
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}e^{3t}+C_1\right)=e^{3t}, \qquad \frac{d}{dt}\left(\ln|t-1|+C_2\right)=\frac{1}{t-1},
portanto a derivada é exatamente a dada no enunciado. Lembre-se: t\neq1.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\left(\frac{1}{3}e^{3t}+C_1\right)\mathbf{i}+\left(\ln|t-1|+C_2\right)\mathbf{j},\quad C_1,C_2\in\mathbb{R},\; t\neq1

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