Encontre o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
Passo 1
O enunciado dá a derivada de uma função vetorial e pede para encontrarmos o vetor mais geral cuja derivada é essa função. Dados fornecidos:
Pergunta: encontrar
tal que
seja igual à expressão acima. Observação imediata: a segunda componente tem
, logo o domínio precisa excluir
.
Passo 2
Vamos integrar componente a componente. Primeiro, a componente
: temos que encontrar uma função
tal que
. Recordando a fórmula de antiderivada da exponencial: para constante
,
Aqui
, logo uma primitiva de
é
onde
é uma constante real (porque a derivada de uma constante é zero).
Passo 3
Agora a componente
: queremos
tal que
. Usamos a substituição
ou a fórmula direta
Com
obtemos
onde
é outra constante real. Reforço: o valor absoluto é necessário porque o logaritmo natural exige argumento não nulo e pode ser tanto positivo quanto negativo; além disso
.
Passo 4
Juntando as componentes
e
obtemos a função vetorial mais geral (no plano) cuja derivada é a dada:
com
constantes arbitrárias. Essas constantes aparecem porque qualquer constante desaparece ao derivar.
Passo 5
Verificação rápida (importante para a prova): derivando a expressão acima temos
portanto a derivada é exatamente a dada no enunciado. Lembre-se:
.