Nos seguintes exercícios, determine o comprimento do arco dado. Quando aparecer
, assuma
de
a
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o comprimento do arco da curva paramétrica dada por
no intervalo de parâmetro
de
até
.
Informações dadas: as funções e
e o intervalo
. Não há outras condições.
Informações dadas: as funções
Passo 2
Fórmula que vamos usar (a mais comum para comprimento de arco de curva parametrizada):
se uma curva é dada por para
, então o comprimento
é
se uma curva é dada por
Explicação da fórmula (passo a passo): imagine um pequeno incremento
. As variações correspondentes são
e
. O comprimento do pequeno segmento é aproximadamente
. Somando (integrando) esses pequenos comprimentos de
a
obtemos o comprimento total. Cada símbolo:
e
são as derivadas de
e
em relação a
;
e
são os extremos do intervalo do parâmetro.
Passo 3
Calcule as derivadas usando a regra de potência: para
,
Para
,
Comentário amistoso: foi só aplicar a regra "derivar
dá
" e multiplicar pelo coeficiente
.
Passo 4
Monte o integrando
e simplifique:
Expanda e some termo a termo:
Então o integrando é
Observação: aqui usei fatoração
.
Passo 5
Agora a integral para o comprimento fica
Fatoramos
porque é constante em relação a
. A próxima tarefa é calcular
.
Passo 6
Para calcular
uma boa técnica é a substituição hiperbólica
. Motivo:
, o que simplifica a raiz. Faça a mudança:
Assim o integrando vira
Use a identidade hiperbólica
. Então
Volte para
: note que
e
. Portanto um primitivo é
Comentário: essa é a forma padrão; a parte logarítmica vem da inversa da substituição hiperbólica (
).
Passo 7
Calcule o integral definido
usando o primitivo encontrado:
Avalie em
:
Avalie em
:
Logo
Passo 8
Volte para
:
Calcule os produtos:
. Portanto
Dica final amiga: se precisar estimar numericamente para checar na prova,
e
, então
. Mas a forma exata é melhor para a resposta.