Nos seguintes exercícios, determine o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, assuma a>0
x(t)=\frac{1}{2} t^{2}+t, \quad y(t)=\frac{1}{2} t^{2}-t ; \quad de t=0 a t=1.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o comprimento do arco da curva paramétrica dada por
x(t)=\frac{1}{2}t^{2}+t,\qquad y(t)=\frac{1}{2}t^{2}-t
no intervalo de parâmetro t de t=0 até t=1.
Informações dadas: as funções x(t) e y(t) e o intervalo [0,1]. Não há outras condições.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (a mais comum para comprimento de arco de curva parametrizada):
se uma curva é dada por x(t),y(t) para t\in[a,b], então o comprimento L é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt.
Explicação da fórmula (passo a passo): imagine um pequeno incremento dt. As variações correspondentes são dx=x'(t)\,dt e dy=y'(t)\,dt. O comprimento do pequeno segmento é aproximadamente \sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}\,dt. Somando (integrando) esses pequenos comprimentos de t=a a t=b obtemos o comprimento total. Cada símbolo: x'(t) e y'(t) são as derivadas de x e y em relação a t; a e b são os extremos do intervalo do parâmetro.

Passo 3

Calcule as derivadas usando a regra de potência: para x(t)=\tfrac{1}{2}t^{2}+t,
x'(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}t^{2}+t\right)=\frac{1}{2}\cdot 2t + 1 = t+1.
Para y(t)=\tfrac{1}{2}t^{2}-t,
y'(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}t^{2}-t\right)=\frac{1}{2}\cdot 2t - 1 = t-1.
Comentário amistoso: foi só aplicar a regra "derivar t^{2} 2t" e multiplicar pelo coeficiente \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Monte o integrando \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} e simplifique:
\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}=(t+1)^{2}+(t-1)^{2}.
Expanda e some termo a termo:
(t+1)^{2}+(t-1)^{2}=(t^{2}+2t+1)+(t^{2}-2t+1)=2t^{2}+2.
Então o integrando é
\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}=\sqrt{2t^{2}+2}=\sqrt{2}\,\sqrt{t^{2}+1}.
Observação: aqui usei fatoração \sqrt{2t^{2}+2}=\sqrt{2}\sqrt{t^{2}+1}.

Passo 5

Agora a integral para o comprimento fica
L=\int_{0}^{1}\sqrt{2}\,\sqrt{t^{2}+1}\,dt=\sqrt{2}\int_{0}^{1}\sqrt{t^{2}+1}\,dt.
Fatoramos \sqrt{2} porque é constante em relação a t. A próxima tarefa é calcular I=\int_{0}^{1}\sqrt{t^{2}+1}\,dt.

Passo 6

Para calcular I=\int\sqrt{t^{2}+1}\,dt uma boa técnica é a substituição hiperbólica t=\operatorname{sinh} u. Motivo: \operatorname{sinh}^{2}u+1=\operatorname{cosh}^{2}u, o que simplifica a raiz. Faça a mudança:
t=\operatorname{sinh} u\quad\Rightarrow\quad dt=\operatorname{cosh} u\,du\quad\text{e}\quad \sqrt{t^{2}+1}=\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}u+1}=\operatorname{cosh} u.
Assim o integrando vira
\sqrt{t^{2}+1}\,dt=\operatorname{cosh} u\cdot\operatorname{cosh} u\,du=\operatorname{cosh}^{2}u\,du.
Use a identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^{2}u=\tfrac{1}{2}(1+\operatorname{cosh} 2u). Então
\int \operatorname{cosh}^{2}u\,du=\int \frac{1+\operatorname{cosh} 2u}{2}\,du=\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}\operatorname{sinh} 2u + C.
Volte para t: note que \operatorname{sinh} 2u=2\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u=2t\sqrt{t^{2}+1} e u=\operatorname{arsinh}t=\ln\!\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr). Portanto um primitivo é
\int \sqrt{t^{2}+1}\,dt=\frac{1}{2}t\sqrt{t^{2}+1}+\frac{1}{2}\ln\!\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr)+C.
Comentário: essa é a forma padrão; a parte logarítmica vem da inversa da substituição hiperbólica ( \operatorname{arsinh}).

Passo 7

Calcule o integral definido I=\int_{0}^{1}\sqrt{t^{2}+1}\,dt usando o primitivo encontrado:
I=\left[\frac{1}{2}t\sqrt{t^{2}+1}+\frac{1}{2}\ln\!\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr)\right]_{0}^{1}.
Avalie em t=1:
\frac{1}{2}\cdot 1\cdot\sqrt{1^{2}+1}+\frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).
Avalie em t=0:
\frac{1}{2}\cdot 0\cdot\sqrt{0^{2}+1}+\frac{1}{2}\ln\!\bigl(0+\sqrt{0^{2}+1}\bigr)=0+\frac{1}{2}\ln 1=0.
Logo
I=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).

Passo 8

Volte para L=\sqrt{2}\,I:
L=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\right) =\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).
Calcule os produtos: \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1. Portanto
L=1+\frac{\sqrt{2}}{2}\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).
Dica final amiga: se precisar estimar numericamente para checar na prova, \ln(1+\sqrt{2})\approx 0{,}8814 e \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071, então L\approx 1+0{,}7071\cdot 0{,}8814\approx 1{,}623. Mas a forma exata é melhor para a resposta.

Resposta

1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)

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