Encontre o vetor gradiente e a matriz hessiana para cada uma das seguintes funções:
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+3 x y+2 y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função \displaystyle f(x,y)=\ln\big(x^{2}+3xy+2y^{2}\big):
  1. Encontrar o vetor gradiente \displaystyle \nabla f(x,y).
  2. Encontrar a matriz Hessiana \displaystyle Hf(x,y) (matriz das segundas derivadas parciais).
Informações dadas que vamos usar: a função é a composição do logaritmo natural com o polinômio quadrático \displaystyle x^{2}+3xy+2y^{2}. É importante notar que a expressão dentro do logaritmo deve ser positiva para f estar bem definida, ou seja precisamos de \displaystyle x^{2}+3xy+2y^{2}>0 no domínio considerado.

Passo 2

Estratégia (só para alinhar o raciocínio, não é necessário decorar): quando temos \displaystyle f=\ln(g) com g=g(x,y), a regra da cadeia em várias variáveis dá
\nabla f = \frac{1}{g}\,\nabla g.
Portanto primeiro vamos calcular \displaystyle g(x,y)=x^{2}+3xy+2y^{2} e seu gradiente \displaystyle \nabla g. Depois aplicamos a fórmula acima para obter \nabla f.

Passo 3

Calcular \displaystyle \nabla g. Lembre que o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
g(x,y)=x^{2}+3xy+2y^{2}.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial g}{\partial x}=2x+3y.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial g}{\partial y}=3x+4y.
Logo
\nabla g(x,y)=\begin{pmatrix}2x+3y\\[4pt]3x+4y\end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para o logaritmo. Como \displaystyle f=\ln(g),
\nabla f(x,y)=\frac{1}{g(x,y)}\,\nabla g(x,y).
Substituindo g e \nabla g obtemos
\nabla f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+3xy+2y^{2}}\begin{pmatrix}2x+3y\\[4pt]3x+4y\end{pmatrix}.
Isto é, em componentes:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x+3y}{x^{2}+3xy+2y^{2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{3x+4y}{x^{2}+3xy+2y^{2}}.]

Passo 5

Agora a matriz Hessiana. Uma forma eficiente é usar que, para f=\ln(g),
Hf=\frac{1}{g}\,Hg-\frac{1}{g^{2}}(\nabla g)(\nabla g)^{T},
onde Hg é a Hessiana de g e (\nabla g)(\nabla g)^{T} é o produto externo do vetor gradiente consigo mesmo. Esta fórmula vem de derivar \nabla f=(1/g)\nabla g usando a regra do produto e a derivada de 1/g.

Passo 6

Calcular Hg. Das segundas derivadas de g temos:
\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}=2,\qquad \frac{\partial^{2} g}{\partial x\partial y}=3,\qquad \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=4.
Portanto
Hg=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular o produto externo (\nabla g)(\nabla g)^{T}. Com \nabla g=\begin{pmatrix}2x+3y\\[4pt]3x+4y\end{pmatrix}, o produto externo é a matriz
(\nabla g)(\nabla g)^{T}= \begin{pmatrix} (2x+3y)^{2} & (2x+3y)(3x+4y)\\[6pt] (2x+3y)(3x+4y) & (3x+4y)^{2} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Montar a Hessiana usando a fórmula do Passo 5. Escrevendo g para abreviar \big(g=x^{2}+3xy+2y^{2}\big),
Hf(x,y)=\frac{1}{g}\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix} -\frac{1}{g^{2}} \begin{pmatrix} (2x+3y)^{2} & (2x+3y)(3x+4y)\\[6pt] (2x+3y)(3x+4y) & (3x+4y)^{2} \end{pmatrix}.
Podemos também escrever as entradas explicitamente, colocando tudo sobre o mesmo denominador g^{2}:
Hf(x,y)=\frac{1}{g^{2}}\begin{pmatrix} 2g-(2x+3y)^{2} & 3g-(2x+3y)(3x+4y)\\[6pt] 3g-(2x+3y)(3x+4y) & 4g-(3x+4y)^{2} \end{pmatrix}.]

Passo 9

Se for útil na prova, aqui estão as expressões das entradas com g=x^{2}+3xy+2y^{2} mantido:
\begin{aligned} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}&=\frac{2\big(x^{2}+3xy+2y^{2}\big)-(2x+3y)^{2}}{\big(x^{2}+3xy+2y^{2}\big)^{2}},\\[6pt] \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}&=\frac{3\big(x^{2}+3xy+2y^{2}\big)-(2x+3y)(3x+4y)}{\big(x^{2}+3xy+2y^{2}\big)^{2}},\\[6pt] \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}&=\frac{4\big(x^{2}+3xy+2y^{2}\big)-(3x+4y)^{2}}{\big(x^{2}+3xy+2y^{2}\big)^{2}}. \end{aligned}]

Resposta

\displaystyle \nabla f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+3xy+2y^{2}}\begin{pmatrix}2x+3y\\[4pt]3x+4y\end{pmatrix}.
\displaystyle Hf(x,y)=\frac{1}{\big(x^{2}+3xy+2y^{2}\big)^{2}}\begin{pmatrix} 2\big(x^{2}+3xy+2y^{2}\big)-(2x+3y)^{2} & 3\big(x^{2}+3xy+2y^{2}\big)-(2x+3y)(3x+4y)\\[6pt] 3\big(x^{2}+3xy+2y^{2}\big)-(2x+3y)(3x+4y) & 4\big(x^{2}+3xy+2y^{2}\big)-(3x+4y)^{2} \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados