Encontre o vetor gradiente e a matriz hessiana para cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Encontrar o vetor gradiente
. - Encontrar a matriz Hessiana
(matriz das segundas derivadas parciais).
Informações dadas que vamos usar: a função é a composição do logaritmo natural com o polinômio quadrático
. É importante notar que a expressão dentro do logaritmo deve ser positiva para
estar bem definida, ou seja precisamos de
no domínio considerado.
Passo 2
Estratégia (só para alinhar o raciocínio, não é necessário decorar): quando temos
com
, a regra da cadeia em várias variáveis dá
Portanto primeiro vamos calcular
e seu gradiente
. Depois aplicamos a fórmula acima para obter
.
Passo 3
Calcular
. Lembre que o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Logo
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para o logaritmo. Como
,
Substituindo
e
obtemos
Isto é, em componentes:
Passo 5
Agora a matriz Hessiana. Uma forma eficiente é usar que, para
,
onde
é a Hessiana de
e
é o produto externo do vetor gradiente consigo mesmo. Esta fórmula vem de derivar
usando a regra do produto e a derivada de
.
Passo 6
Calcular
. Das segundas derivadas de
temos:
Portanto
Passo 7
Calcular o produto externo
. Com
, o produto externo é a matriz
Passo 8
Montar a Hessiana usando a fórmula do Passo 5. Escrevendo
para abreviar
,
Podemos também escrever as entradas explicitamente, colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Passo 9
Se for útil na prova, aqui estão as expressões das entradas com
mantido: