Um espelho plano vertical está fixo ao longo da reta
. Um objeto pontual está localizado em
. Um observador está no ponto
. O espelho possui altura limitada ao intervalo
.
(a) Determine a posição da imagem virtual do objeto.
(b) Determine a equação da reta que liga o observador à imagem virtual.
(c) Encontre o ponto onde o raio de luz atinge o espelho.
(d) Verifique se o objeto é visível para o observador.
(a) Determine a posição da imagem virtual do objeto.
(b) Determine a equação da reta que liga o observador à imagem virtual.
(c) Encontre o ponto onde o raio de luz atinge o espelho.
(d) Verifique se o objeto é visível para o observador.
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados:
- Espelho plano vertical localizado ao longo da reta
. - Objeto pontual em
. - Observador em
. - Espelho tem altura limitada ao intervalo
.
Perguntas:
(a) Determinar a posição da imagem virtual do objeto.
(b) Determinar a equação da reta que liga o observador à imagem virtual.
(c) Encontrar o ponto onde o raio de luz atinge o espelho.
(d) Verificar se o objeto é visível para o observador (considerando a altura limitada do espelho).
(a) Determinar a posição da imagem virtual do objeto.
(b) Determinar a equação da reta que liga o observador à imagem virtual.
(c) Encontrar o ponto onde o raio de luz atinge o espelho.
(d) Verificar se o objeto é visível para o observador (considerando a altura limitada do espelho).
Passo 2
Como se forma a imagem em um espelho plano e aplicação ao problema.
Teoria rápida e prática (sem pular passos): em um espelho plano a imagem virtual de um ponto é o simétrico desse ponto em relação ao plano do espelho. Para uma reta vertical
(espelho no plano vertical), a reflexão de um ponto
é
. Isso vem do fato de que cada ponto e sua imagem ficam à mesma distância do espelho, em lados opostos, e com a mesma ordenada
.
Aplicando ao objeto
:
Portanto a posição da imagem virtual é
.
Passo 3
Equação da reta que liga o observador
à imagem
.
Método (passo a passo): a equação da reta que passa por dois pontos
e
pode ser escrita em forma ponto-inclinação
onde a inclinação
é
Aqui, tomamos
e
. Calculando a inclinação:
Usando a forma ponto-inclinação com
:
Se preferir a forma explícita:
Passo 4
Encontrar o ponto onde o raio atinge o espelho (interseção da reta com
).
Procedimento: colocar
na equação da reta encontrada em Passo 3:
Logo, o ponto de impacto no espelho é
Passo 5
Verificação da lei da reflexão (explicando por que esse ponto realmente corresponde ao ponto de reflexão físico).
Para um espelho vertical a normal local aponta ao longo do eixo
. A lei de reflexão (ângulo de incidência igual ao de reflexão) implica, geometricamente, que se ligarmos a imagem virtual
ao observador
a reta resultante cruza o espelho exatamente no ponto de reflexão. Já usamos exatamente esse princípio ao intersectar a reta
com
para achar
.
Podemos também verificar por inclinações: o segmento
(do espelho ao objeto real) tem inclinação
O segmento
(do espelho ao observador) tem inclinação
Observe que
. Para um espelho vertical isso mostra que as direções antes e depois da reflexão têm a componente horizontal invertida e a componente vertical igual — exatamente o que a lei da reflexão exige no caso de um espelho vertical. Portanto
é consistente com a reflexão física.
Passo 6
Verificar se o objeto é visível para o observador, considerando a altura do espelho.
Condição prática: o ponto de impacto
deve pertencer ao intervalo vertical do espelho
. Calculamos
. Como
o ponto de reflexão está dentro da altura do espelho. Além disso, os segmentos
e
são trajetórias físicas (sem obstrução no enunciado). Portanto o observador pode ver a imagem do objeto através desse ponto de reflexão: o objeto é visível.
Resposta
(a)
(b) , isto é
(c)
(d) Sim. O ponto de reflexão tem
, logo o espelho intercepta o raio e o objeto é visível.
(b)
(c)
(d) Sim. O ponto de reflexão