Um espelho plano vertical está fixo ao longo da reta x=0. Um objeto pontual está localizado em \mathrm{A}=(2,0). Um observador está no ponto \mathrm{P}=(4,2). O espelho possui altura limitada ao intervalo \mathrm{y} \in[-1,1].
(a) Determine a posição da imagem virtual do objeto.
(b) Determine a equação da reta que liga o observador à imagem virtual.
(c) Encontre o ponto onde o raio de luz atinge o espelho.
(d) Verifique se o objeto é visível para o observador.

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados:
  • Espelho plano vertical localizado ao longo da reta x=0.
  • Objeto pontual em \mathrm{A}=(2,0).
  • Observador em \mathrm{P}=(4,2).
  • Espelho tem altura limitada ao intervalo \,y\in[-1,1].
Perguntas:
(a) Determinar a posição da imagem virtual do objeto.
(b) Determinar a equação da reta que liga o observador à imagem virtual.
(c) Encontrar o ponto onde o raio de luz atinge o espelho.
(d) Verificar se o objeto é visível para o observador (considerando a altura limitada do espelho).

Passo 2

Como se forma a imagem em um espelho plano e aplicação ao problema.
Teoria rápida e prática (sem pular passos): em um espelho plano a imagem virtual de um ponto é o simétrico desse ponto em relação ao plano do espelho. Para uma reta vertical x=0 (espelho no plano vertical), a reflexão de um ponto (x,y) é (-x,y). Isso vem do fato de que cada ponto e sua imagem ficam à mesma distância do espelho, em lados opostos, e com a mesma ordenada y.
Aplicando ao objeto \mathrm{A}=(2,0):
\text{imagem } \mathrm{A'} = (-2,0).
Portanto a posição da imagem virtual é \mathrm{A'} = (-2,0).

Passo 3

Equação da reta que liga o observador \mathrm{P}=(4,2) à imagem \mathrm{A'}=(-2,0).
Método (passo a passo): a equação da reta que passa por dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) pode ser escrita em forma ponto-inclinação
y-y_1=m(x-x_1),
onde a inclinação m é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui, tomamos (x_1,y_1)=\mathrm{P}=(4,2) e (x_2,y_2)=\mathrm{A'}=(-2,0). Calculando a inclinação:
m=\frac{0-2}{-2-4}=\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}.
Usando a forma ponto-inclinação com \mathrm{P}:
y-2=\frac{1}{3}(x-4).
Se preferir a forma explícita:
y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}.

Passo 4

Encontrar o ponto onde o raio atinge o espelho (interseção da reta com x=0).
Procedimento: colocar x=0 na equação da reta encontrada em Passo 3:
y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.
Logo, o ponto de impacto no espelho é
\mathrm{S}=(0,\tfrac{2}{3}).

Passo 5

Verificação da lei da reflexão (explicando por que esse ponto realmente corresponde ao ponto de reflexão físico).
Para um espelho vertical a normal local aponta ao longo do eixo x. A lei de reflexão (ângulo de incidência igual ao de reflexão) implica, geometricamente, que se ligarmos a imagem virtual \mathrm{A'} ao observador \mathrm{P} a reta resultante cruza o espelho exatamente no ponto de reflexão. Já usamos exatamente esse princípio ao intersectar a reta \mathrm{P}\mathrm{A'} com x=0 para achar \mathrm{S}.
Podemos também verificar por inclinações: o segmento \mathrm{S}\mathrm{A} (do espelho ao objeto real) tem inclinação
m_{\mathrm{SA}}=\frac{0-\tfrac{2}{3}}{2-0}=\frac{-\tfrac{2}{3}}{2}=-\frac{1}{3}.
O segmento \mathrm{S}\mathrm{P} (do espelho ao observador) tem inclinação
m_{\mathrm{SP}}=\frac{2-\tfrac{2}{3}}{4-0}=\frac{\tfrac{4}{3}}{4}=\frac{1}{3}.
Observe que m_{\mathrm{SP}}=-m_{\mathrm{SA}}. Para um espelho vertical isso mostra que as direções antes e depois da reflexão têm a componente horizontal invertida e a componente vertical igual — exatamente o que a lei da reflexão exige no caso de um espelho vertical. Portanto \mathrm{S}=(0,\tfrac{2}{3}) é consistente com a reflexão física.

Passo 6

Verificar se o objeto é visível para o observador, considerando a altura do espelho.
Condição prática: o ponto de impacto \mathrm{S} deve pertencer ao intervalo vertical do espelho \,y\in[-1,1]. Calculamos \mathrm{S}=(0,\tfrac{2}{3}). Como
\tfrac{2}{3}\in[-1,1],
o ponto de reflexão está dentro da altura do espelho. Além disso, os segmentos \mathrm{A}\mathrm{S} e \mathrm{S}\mathrm{P} são trajetórias físicas (sem obstrução no enunciado). Portanto o observador pode ver a imagem do objeto através desse ponto de reflexão: o objeto é visível.

Resposta

(a) \mathrm{A'} = (-2,0)
(b) y-2=\dfrac{1}{3}(x-4), isto é y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}
(c) \mathrm{S}=\left(0,\dfrac{2}{3}\right)
(d) Sim. O ponto de reflexão \mathrm{S} tem y=\dfrac{2}{3}\in[-1,1], logo o espelho intercepta o raio e o objeto é visível.

Exercícios relacionados