Encontre um vetor \mathbf{x} cuja imagem por T é \mathbf{b}, em que T é dada por T(\mathbf{x})=A \mathbf{x}, e determine se este \mathbf{x} é único.
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & -3 \\\\ -3 & 1 & 6 \\\\ 2 & -2 & -1\end{array}\right], \mathbf{b}=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 3 \\\\ -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um vetor \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 tal que
T(\mathbf{x})=A\,\mathbf{x}=\mathbf{b},
onde
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3\\\\ -3 & 1 & 6\\\\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-2\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix}.
O conteúdo necessário é resolução de sistema linear e teste de invertibilidade de A.

Passo 2

Para ver se a solução é única, calculamos \det(A). Usando a expansão pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1&6\\\ -2&-1\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) +(-3)\cdot\det\!\begin{pmatrix}-3&1\\\ 2&-2\end{pmatrix}.
Calculamos cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}1&6\\\ -2&-1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-6\cdot(-2)=11, \quad \det\!\begin{pmatrix}-3&1\\\ 2&-2\end{pmatrix} =(-3)\cdot(-2)-1\cdot2=4.
Logo
\det(A)=1\cdot11+(-3)\cdot4=11-12=-1\neq0.
Como \det(A)\neq0, A é invertível e a solução de A\mathbf{x}=\mathbf{b} é única.

Passo 3

Escrevemos o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} em componentes:
\begin{cases} x_1 -3x_3 = -2,\\\\ -3x_1 +x_2 +6x_3 = 3,\\\\ 2x_1 -2x_2 -x_3 = -1. \end{cases}
Da primeira equação temos
x_1 = -2 +3x_3.
Da segunda:
-3(-2+3x_3)+x_2+6x_3=3 \;\Longrightarrow\; 6-9x_3+x_2+6x_3=3 \;\Longrightarrow\; x_2=-3+3x_3.

Passo 4

Substituímos x_1 e x_2 na terceira equação:
2(-2+3x_3)-2(-3+3x_3)-x_3=-1 \;\Longrightarrow\; -4+6x_3+6-6x_3-x_3=-1 \;\Longrightarrow\; 2 - x_3 = -1 \;\Longrightarrow\; x_3 = 3.

Passo 5

Com x_3=3 obtemos
x_1 = -2 +3\cdot3 = 7, \quad x_2 = -3 +3\cdot3 = 6.
Portanto
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}7\\\ 6\\\ 3\end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}=\begin{pmatrix}7\\\ 6\\\ 3\end{pmatrix}, e essa solução é única pois \det(A)=-1\neq0.

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