Encontre um vetor \mathbf{x} cuja imagem por T é \mathbf{b}, em que T é dada por T(\mathbf{x})=A \mathbf{x}, e determine se este \mathbf{x} é único.
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\\\ 0 & 1 & -3 \\\\ 2 & -5 & 6\end{array}\right], \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}-6 \\\\ -4 \\\\ -5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede um vetor \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 tal que
T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}=\mathbf{b},
onde
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\\\ 0 & 1 & -3\\\\ 2 & -5 & 6 \end{pmatrix},\quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-6\\\ -4\\\ -5\end{pmatrix}.
O conteúdo envolve resolução de sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} e verificação de unicidade via determinante.

Passo 2

Escrevemos o sistema em equações:
\begin{cases} x_1 - 2x_2 +3x_3 = -6,\\\ x_2 -3x_3 = -4,\\\\ 2x_1 -5x_2 +6x_3 = -5. \end{cases}
Da segunda equação isolamos
x_2 = -4 +3x_3.
Substituindo em x_1 -2x_2+3x_3=-6
x_1 -2(-4+3x_3)+3x_3=-6 \;\Longrightarrow\; x_1 +8 -6x_3 +3x_3=-6 \;\Longrightarrow\; x_1 = -14 +3x_3.

Passo 3

Agora substituímos x_1 e x_2 na terceira equação:
2(-14+3x_3)\;-\;5(-4+3x_3)\;+\;6x_3 \;=\;-5.
Isso é
-28+6x_3 +20 -15x_3 +6x_3 = -5 \;\Longrightarrow\; -8 -3x_3 = -5 \;\Longrightarrow\; x_3 = -1.

Passo 4

Com x_3=-1, voltamos em
x_2 = -4 +3(-1) = -7, \qquad x_1 = -14 +3(-1) = -17.

Passo 5

Para ver se a solução é única, calculamos
\det(A) =1\cdot\begin{vmatrix}1 & -3\\\ -5 & 6\end{vmatrix} -(-2)\cdot\begin{vmatrix}0 & -3\\\ 2 & 6\end{vmatrix} +3\cdot\begin{vmatrix}0 & 1\\\ 2 & -5\end{vmatrix}.
Temos
\begin{vmatrix}1 & -3\\\ -5 & 6\end{vmatrix} =1\cdot6 -(-3)(-5)=6-15=-9,
\begin{vmatrix}0 & -3\\\ 2 & 6\end{vmatrix} =0\cdot6 -(-3)\cdot2=6,
\begin{vmatrix}0 & 1\\\ 2 & -5\end{vmatrix} =0\cdot(-5)-1\cdot2=-2.
Logo
\det(A)=-9 +2\cdot6 +3\cdot(-2) = -9+12-6 = -3\neq0.
Como \det(A)\neq0, a solução de A\mathbf{x}=\mathbf{b} é única.

Resposta

\mathbf{x} = \begin{pmatrix}-17\\\ -7\\\ -1\end{pmatrix},
e este \mathbf{x} é único, pois \det(A)\neq0.

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