Questão 1 Para cada matriz abaixo:
  • Determine os autovalores.
  • Encontre um autovetor para cada autovalor.
    D=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
O conteúdo é autovalores e autovetores de matrizes diagonais: para essas matrizes, os autovalores são as entradas da diagonal e os autovetores são os vetores canônicos correspondentes.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de D:
p(\lambda) = \det(D - \lambda I) = (3-\lambda)(2-\lambda)(-1-\lambda).

Passo 3

Resolver p(\lambda)=0. As raízes são
\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 2 e \lambda_3 = -1.

Passo 4

Para cada autovalor \lambda_i, resolvemos (D - \lambda_i I)v=0. Como D é diagonal, isso isola uma coordenada não nula por vez. Podemos escolher os vetores canônicos:
para \lambda_1=3, v_1=(1,0,0)^T;
para \lambda_2=2, v_2=(0,1,0)^T;
para \lambda_3=-1, v_3=(0,0,1)^T.

Resposta

Os autovalores são \{3,2,-1\}.
Um autovetor para \lambda=3 é (1,0,0)^T.
Um autovetor para \lambda=2 é (0,1,0)^T.
Um autovetor para \lambda=-1 é (0,0,1)^T.

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