Encontre um vetor \mathbf{x} cuja imagem por T é \mathbf{b}, em que T é dada por T(\mathbf{x})=A \mathbf{x}, e determine se este \mathbf{x} é único. A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -5 & -7 \\\\ -3 & 7 & 5\end{array}\right], \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}-2 \\\\ -2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede um vetor \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 tal que
O conteúdo é resolução de sistemas lineares e o teorema do posto e nulidade para discutir existência e unicidade.
Passo 2
Para existir solução devemos ter \mathbf{b} no espaço coluna de A. Como A é 2\times3 e suas duas linhas são linearmente independentes (não há \lambda tal que a primeira linha multiplicada por \lambda seja a segunda), o posto de A é 2. Logo o espaço coluna de A é todo \mathbb{R}^2 e o sistema é sempre consistente.
Passo 3
Escrevemos o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) em coordenas \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\):
\[\begin{cases} 1\cdot x_1-5\cdot x_2-7\cdot x_3=-2,\\\\ -3\cdot x_1+7\cdot x_2+5\cdot x_3=-2. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por (3] e somando à segunda, temos 3x_1-15x_2-21x_3=-6 \quad\text{e}\quad (-3x_1+7x_2+5x_3=-2),
de modo que (-15+7)x_2+(-21+5)x_3=-6-2 \;\Longrightarrow\; -8x_2-16x_3=-8 \;\Longrightarrow\; x_2+2x_3=1.
Passo 4
Da relação x_2+2x_3=1 definimos um parâmetro t=x_3. Assim