Encontre um vetor \mathbf{x} cuja imagem por T é \mathbf{b}, em que T é dada por T(\mathbf{x})=A \mathbf{x}, e determine se este \mathbf{x} é único.
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -5 & -7 \\\\ -3 & 7 & 5\end{array}\right], \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}-2 \\\\ -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede um vetor \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 tal que
T(\mathbf{x})=A\,\mathbf{x}=\mathbf{b},
onde
A=\begin{pmatrix} 1 & -5 & -7\\\\ -3&7&5 \end{pmatrix},\quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-2\\\ -2\end{pmatrix}.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares e o teorema do posto e nulidade para discutir existência e unicidade.

Passo 2

Para existir solução devemos ter \mathbf{b} no espaço coluna de A. Como A é 2\times3 e suas duas linhas são linearmente independentes (não há \lambda tal que a primeira linha multiplicada por \lambda seja a segunda), o posto de A é 2. Logo o espaço coluna de A é todo \mathbb{R}^2 e o sistema é sempre consistente.

Passo 3

Escrevemos o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) em coordenas \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\): \[\begin{cases} 1\cdot x_1-5\cdot x_2-7\cdot x_3=-2,\\\\ -3\cdot x_1+7\cdot x_2+5\cdot x_3=-2. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por (3] e somando à segunda, temos
3x_1-15x_2-21x_3=-6 \quad\text{e}\quad (-3x_1+7x_2+5x_3=-2),
de modo que
(-15+7)x_2+(-21+5)x_3=-6-2 \;\Longrightarrow\; -8x_2-16x_3=-8 \;\Longrightarrow\; x_2+2x_3=1.

Passo 4

Da relação x_2+2x_3=1 definimos um parâmetro t=x_3. Assim
x_2=1-2t.
Para x_1, usamos a primeira equação:
x_1 = -2 +5x_2+7x_3 = -2 +5(1-2t)+7t = -2 +5 -10t+7t = 3-3t.
Logo a solução geral é
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-3t\\\ 1-2t\t\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Pelo teorema do posto e nulidade, \dim(\ker A)=3-2=1, logo há infinitas soluções. Por exemplo, para t=0 escolhemos
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},
que satisfaz A\mathbf{x}=\mathbf{b}. Como há um parâmetro livre t, a solução não é única.

Resposta

Um exemplo de vetor solução é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Essa solução não é única: a generalidade das soluções é
\bigl(3-3t,\;1-2t,\;t\bigr)^T, t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados