Encontre um vetor \mathbf{x} cuja imagem por T é \mathbf{b}, em que T é dada por T(\mathbf{x})=A \mathbf{x}, e determine se este \mathbf{x} é único.
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -3 & 2 \\\\ 3 & -8 & 8 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 8\end{array}\right], \mathbf{b}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 6 \\\\ 3 \\\\ 10\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede um vetor \mathbf{x}=(x,y,z)^T em \mathbb{R}^3 tal que
T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}=\mathbf{b},
onde
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2\\\\ 3 & -8 & 8\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 0 & 8 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\\ 6\\\ 3\\\ 10\end{pmatrix}.
Para resolver, vamos montar o sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} e usar eliminação de Gauss, depois verificar a unicidade da solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada \bigl[A\mid \mathbf{b}\bigr] e aplicamos operações elementares:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & 2 & 1\\\\ 3 & -8 & 8 & 6\\\\ 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 0 & 8 &10 \end{array}\right].
Eliminando abaixo do pivô (linha 1):
  • L_2\leftarrow L_2-3L_1 [0\;\;1\;\;2\mid3].
  • L_4\leftarrow L_4-L_1 [0\;\;3\;\;6\mid9].
    Mantém-se L_3=[0\;1\;2\mid3].
O resultado é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 3 & 6 & 9 \end{array}\right].

Passo 3

Observamos que a segunda, terceira e quarta linhas são múltiplos entre si, então só temos duas equações independentes:
\begin{cases} x -3y +2z = 1,\\\ y +2z = 3. \end{cases}
As outras linhas não impõem restrições novas, logo o sistema é compatível e tem grau de liberdade.

Passo 4

Da segunda equação tiramos
y = 3 - 2z.
Substituindo na primeira:
x -3(3-2z) +2z =1 \quad\Rightarrow\quad x +8z =10 \quad\Rightarrow\quad x = 10 -8z.
Logo a solução geral é
x = 10 -8t,\quad y = 3 -2t,\quad z = t,
onde t\in\mathbb{R} é parâmetro livre.

Passo 5

Como há um parâmetro livre ( t), o conjunto de soluções é infinito (a nulidade de A é 1). Portanto, a solução não é única.

Resposta

A família de soluções é
\mathbf{x}(t) =\begin{pmatrix}10-8t\\\ 3-2t\t\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R},
logo existe infinitos \mathbf{x}, não há unicidade.

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