( 4,0 pontos) Considere as funçōes
e
definidas, respectivamente, por
Entāo,
a) ( 1,3 pontos) Determinar o domínio da funçāo
.
b) ( 1,3 pontos) Use transformaçōes (deslocamentos ou reflexões ou expansōes ou contrações verticais e horizontais) para obter o gráfico da funçāo g. Também, determine domínio e imagem da funçāo g. (Observaçāo: Neste item, todas as transformações conjuntamente com seus gráficos devem ser mostrados, caso contrário, este item simplesmente será desconsiderado).
c) (1,4 pontos) A função
é injetora? Em caso afirmativo, determine a expressão da função inversa de
, faça o gráfico e encontre o dominio e imagem para essa funçăo inversa.
a) ( 1,3 pontos) Determinar o domínio da funçāo
b) ( 1,3 pontos) Use transformaçōes (deslocamentos ou reflexões ou expansōes ou contrações verticais e horizontais) para obter o gráfico da funçāo g. Também, determine domínio e imagem da funçāo g. (Observaçāo: Neste item, todas as transformações conjuntamente com seus gráficos devem ser mostrados, caso contrário, este item simplesmente será desconsiderado).
c) (1,4 pontos) A função
Passo 1
O enunciado dá duas funções
e pede:
a) domínio de .
b) construir o gráfico de por transformações (com cada etapa do gráfico), e achar domínio e imagem de
.
c) dizer se é injetora; se for, achar a inversa, seu gráfico, domínio e imagem.
a) domínio de
b) construir o gráfico de
c) dizer se
Passo 2
Para achar o domínio de
precisamos que o denominador seja diferente de zero. Como a raiz quinta de um número real negativo ou positivo existe, a única restrição é
isto é
Não há outra restrição, pois o numerador e a raiz quinta ficam bem definidos em todo
exceto nesses pontos.
Passo 3
Vamos montar o gráfico de
por transformações a partir da função base
O gráfico de
é crescente, definido para
e de imagem
.
Passo 4
Aplicamos deslocamento horizontal de
unidades à direita:
O novo domínio passa a ser
, ou seja
. O formato e a monotonia (crescente) não mudam, só foram empurrados para a direita.
Passo 5
Fazemos então reflexão em relação ao eixo
:
Agora o gráfico de
fica decrescente, mantém domínio
e imagem
.
Passo 6
Por fim, aplicamos translação vertical de
:
Isso eleva todo o gráfico de
em
unidades. O domínio continua
e a imagem continua todo
, pois somar constante não restringe valores.
Passo 7
Como
é decrescente estritamente em todo o seu domínio
, ela é injetora.
Passo 8
Para achar a inversa, escrevemos
e isolamos
:
Logo, trocando
por
,
Passo 9
O gráfico de
é o reflexo do gráfico de
em torno da reta
.
O domínio de é a imagem de
, que é
, e a imagem de
é o domínio de
, isto é
.
O domínio de
Resposta
a)
b) As transformações para obter
de
são:
. Deslocar
unidades à direita
, domínio
.
. Refletir em
, mantém domínio
.
. Transladar
unidades para cima
.
Domínio de :
. Imagem de
:
.
Domínio de
c)
é injetora.
Domínio de :
. Imagem de
:
.
Domínio de