( 4,0 pontos) Considere as funçōes f e g definidas, respectivamente, por
f(x)=\frac{1-e^{x^{2}}}{\sqrt[5]{1-e^{1-x^{2}}}}, \text { e } g(x)=-\ln (x-2)+3
Entāo,
a) ( 1,3 pontos) Determinar o domínio da funçāo f.
b) ( 1,3 pontos) Use transformaçōes (deslocamentos ou reflexões ou expansōes ou contrações verticais e horizontais) para obter o gráfico da funçāo g. Também, determine domínio e imagem da funçāo g. (Observaçāo: Neste item, todas as transformações conjuntamente com seus gráficos devem ser mostrados, caso contrário, este item simplesmente será desconsiderado).
c) (1,4 pontos) A função g é injetora? Em caso afirmativo, determine a expressão da função inversa de g, faça o gráfico e encontre o dominio e imagem para essa funçăo inversa.

Passo 1

O enunciado dá duas funções
f(x)=\frac{1-e^{x^{2}}}{\sqrt[5]{1-e^{1-x^{2}}}} \qquad\text{e}\qquad g(x)=-\ln(x-2)+3
e pede:
a) domínio de f.
b) construir o gráfico de g por transformações (com cada etapa do gráfico), e achar domínio e imagem de g.
c) dizer se g é injetora; se for, achar a inversa, seu gráfico, domínio e imagem.

Passo 2

Para achar o domínio de
f(x)=\frac{1-e^{x^{2}}}{\sqrt[5]{1-e^{1-x^{2}}}}
precisamos que o denominador seja diferente de zero. Como a raiz quinta de um número real negativo ou positivo existe, a única restrição é
1 - e^{\,1 - x^{2}} \neq 0
isto é
e^{\,1 - x^{2}} \neq 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 - x^{2} \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\neq 1 \quad\Longrightarrow\quad x\neq \pm 1.
Não há outra restrição, pois o numerador e a raiz quinta ficam bem definidos em todo \mathbb{R} exceto nesses pontos.

Passo 3

Vamos montar o gráfico de
g(x)=-\ln(x-2)+3
por transformações a partir da função base
g_{1}(x)=\ln(x).
O gráfico de g_{1} é crescente, definido para x>0 e de imagem \mathbb{R}.

Passo 4

Aplicamos deslocamento horizontal de 2 unidades à direita:
g_{2}(x)=\ln\bigl(x-2\bigr).
O novo domínio passa a ser x-2>0, ou seja x>2. O formato e a monotonia (crescente) não mudam, só foram empurrados para a direita.

Passo 5

Fazemos então reflexão em relação ao eixo x:
g_{3}(x)=-\ln\bigl(x-2\bigr).
Agora o gráfico de g_{3} fica decrescente, mantém domínio x>2 e imagem \mathbb{R}.

Passo 6

Por fim, aplicamos translação vertical de +3:
g(x)=g_{4}(x)=-\ln\bigl(x-2\bigr)+3.
Isso eleva todo o gráfico de g_{3} em 3 unidades. O domínio continua x>2 e a imagem continua todo \mathbb{R}, pois somar constante não restringe valores.

Passo 7

Como g(x) é decrescente estritamente em todo o seu domínio (2,\infty), ela é injetora.

Passo 8

Para achar a inversa, escrevemos
y=-\ln(x-2)+3
e isolamos x:
-\ln(x-2)=y-3 \quad\Longrightarrow\quad \ln(x-2)=3-y \quad\Longrightarrow\quad x-2=e^{\,3-y} \quad\Longrightarrow\quad x=2+e^{\,3-y}.
Logo, trocando y por x,
g^{-1}(x)=2+e^{\,3-x}.

Passo 9

O gráfico de g^{-1} é o reflexo do gráfico de g em torno da reta y=x.
O domínio de g^{-1} é a imagem de g, que é \mathbb{R}, e a imagem de g^{-1} é o domínio de g, isto é (2,\infty).

Resposta

a) \displaystyle \mathrm{dom}\,f=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.
b) As transformações para obter g(x) de y=\ln(x) são:
1. Deslocar 2 unidades à direita \to y=\ln(x-2), domínio (2,\infty).
2. Refletir em x \to y=-\ln(x-2), mantém domínio (2,\infty).
3. Transladar 3 unidades para cima \to y=-\ln(x-2)+3.
Domínio de g: (2,\infty). Imagem de g: \mathbb{R}.
c) g é injetora.
\displaystyle g^{-1}(x)=2+e^{\,3-x}.
Domínio de g^{-1}: \mathbb{R}. Imagem de g^{-1}: (2,\infty).

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