Encontre o vetor resultante e represente geometricamente.
(2,2)+3 \cdot(-1,-1)+(3,4)

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o vetor resultante da soma
(2,2)+3\cdot(-1,-1)+(3,4)
e representá‑lo geometricamente.
Informações dadas (listas de dados do enunciado): (2,2), o escalar 3, o vetor (-1,-1) e o vetor (3,4).

Passo 2

Entendendo a operação de multiplicação por escalar (útil aqui): para um escalar \lambda e um vetor (x,y) temos
\lambda\cdot(x,y)=(\lambda x,\lambda y).
Isto significa que multiplicamos cada componente do vetor pelo escalar, componente a componente. Isso é prático na prova porque evita falar em geometria: fazemos contas simples com números.

Passo 3

Aplicando a multiplicação por escalar ao termo 3\cdot(-1,-1) usando a fórmula do passo anterior:
3\cdot(-1,-1)=(3\cdot(-1),\,3\cdot(-1))=(-3,-3).

Passo 4

Entendendo a adição de vetores (parte essencial): para dois vetores (x_1,y_1) e (x_2,y_2) a soma é
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\,y_1+y_2).
Ou seja, somamos componente a componente. Na hora da prova, faça sempre assim: some as primeiras componentes e depois as segundas.

Passo 5

Somamos primeiro (2,2) com o resultado do escalar que já calculamos (-3,-3):
(2,2)+(-3,-3)=(2+(-3),\,2+(-3))=(-1,-1).
Expliquei cada soma: 2+(-3)=-1.

Passo 6

Agora somamos o vetor obtido (-1,-1) com (3,4):
(-1,-1)+(3,4)=(-1+3,\, -1+4)=(2,3).
De novo fizemos componente a componente: -1+3=2 e -1+4=3.

Passo 7

Conclusão algébrica: o vetor resultante da soma dada é (2,3).
Uma verificação rápida é refazer a soma agrupando de outro modo: (2+3,\,2+4)+(3\cdot(-1,-1))=(5,6)+(-3,-3)=(2,3), dá o mesmo resultado.

Passo 8

Representação geométrica (como desenhar na prova, passo a passo):
  • Desenhe um sistema de eixos e marque o ponto origem (0,0).
  • Se quiser ver a soma como uma trajetória (método da ponta na cauda): comece no (0,0), some (2,2) e vá para o ponto (2,2). A partir daí some (-3,-3) e chegue no ponto (-1,-1). Finalmente some (3,4) e chegue no ponto (2,3). O último ponto (2,3) é a ponta do vetor resultante.
  • O vetor resultante pode ser desenhado diretamente como uma seta que parte de (0,0) e aponta até (2,3).
  • Magnitude (comprimento) do vetor resultante: usando a fórmula do módulo de (x,y),
\|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2},
temos
\|(2,3)\|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
  • Direção (ângulo \theta com o eixo x):
\theta=\arctan\!\left(\frac{3}{2}\right)\approx 56{,}31^\circ.
Portanto geometricamente é uma seta de comprimento \sqrt{13} formando aproximadamente 56{,}31^\circ com o eixo x, com trajetória equivalente à cadeia de pontos (0,0)\to(2,2)\to(-1,-1)\to(2,3).

Resposta

Vetor resultante: (2,3)
Representação geométrica: seta de origem (0,0) até (2,3); trajetória equivalente (0,0)\to(2,2)\to(-1,-1)\to(2,3); módulo \sqrt{13} e ângulo \theta=\arctan\!\left(\tfrac{3}{2}\right)\approx56{,}31^\circ.

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