Forneça o Wronskiano do conjunto de funções dadas e use essa informação para classificar tal conjunto como LD ou LI.
[f1(x)=x^2, f2(x)=x^3, f3(x)=x^4]

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o Wronskiano do conjunto de funções f1(x)=x^2, f2(x)=x^3, f3(x)=x^4 e usar essa informação pra dizer se elas são linearmente dependentes (LD) ou independentes (LI). O conteúdo é o teste de independência linear via Wronskiano, e vamos precisar calcular derivadas até segunda ordem e o determinante de uma matriz 3×3.

Passo 2

O Wronskiano de três funções f1,f2,f3 é definido como o determinante da matriz cujas linhas são as funções e suas primeiras e segundas derivadas, ou seja:
W(x)=det f1(x)&f2(x)&f3(x) f1'(x)&f2'(x)&f3'(x) f1''(x)&f2''(x)&f3''(x)

Passo 3

Primeiro, vamos calcular as derivadas de cada função:
f1(x)=x^2, f1'(x)=2x, f1''(x)=2; f2(x)=x^3, f2'(x)=3x^2, f2''(x)=6x; f3(x)=x^4, f3'(x)=4x^3, f3''(x)=12x^2

Passo 4

Agora montamos a matriz do Wronskiano e vamos calcular seu determinante:
W(x)=det x^2 & x^3 & x^4 2x & 3x^2& 4x^3 2 & 6x &12x^2
Usamos expansão pela primeira linha:
W(x)=x^2cdotdet3x^2&4x^36x&12x^2 -x^3cdotdet2x&4x^32&12x^2 +x^4cdotdet2x&3x^22&6x

Passo 5

Vamos calcular cada menor:
  1. det3x^2&4x^36x&12x^2=3x^2cdot12x^2-4x^3cdot6x=36x^4-24x^4=12x^4,
  2. det2x&4x^32&12x^2=2xcdot12x^2-4x^3cdot2=24x^3-8x^3=16x^3,
  3. det2x&3x^22&6x=2xcdot6x-3x^2cdot2=12x^2-6x^2=6x^2.

Passo 6

Substituindo de volta:
W(x)=x^2cdot(12x^4)-x^3cdot(16x^3)+x^4cdot(6x^2) =12x^6-16x^6+6x^6=2x^6

Passo 7

Como o Wronskiano é W(x)=2x^6, que não é idêntico a zero para xneq0, concluímos que as funções são linearmente independentes (LI) em qualquer intervalo que não inclua x=0.

Resposta

O Wronskiano é W(x)=2x^6. Como W(x)neq0 para xneq0, o conjunto x^2,x^3,x^4 é linearmente independente (LI).

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