Calcule
\iiint_{E} z d V
onde E=\{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq x+y\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{E} z\,dV
sobre o conjunto
E=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1,\;0\le z\le x+y\}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é z.
  • A região E é limitada por x entre 0 e 1, por y entre 0 e 1 e por z entre 0 e x+y.
  • A tarefa é calcular o valor numérico da integral tripla sobre essa região.

Passo 2

Como a região é descrita explicitamente com z variando entre duas superfícies que dependem só de x e y, o jeito natural é escrever a integral tripla como uma integral iterada na ordem dz\,dy\,dx. Pela definição de integral múltipla (e pelo teorema de Fubini, que permite trocar a ordem quando a função é contínua em uma região limitada), temos:
\iiint_{E} z\,dV = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{x+y} z\,dz\,dy\,dx.
Aqui cada variável significa:
  • x e y são as coordenadas no plano base (cada uma vai de 0 a 1);
  • z é a altura que vai de 0 até a superfície z=x+y.

Passo 3

Primeiro integramos em relação a z, mantendo x e y como constantes. A primitiva de z em relação a z é z^2/2. Assim:
\int_{z=0}^{x+y} z\,dz = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{x+y} = \frac{(x+y)^{2}}{2}.
Portanto a integral iterada fica
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{(x+y)^{2}}{2}\,dy\,dx.

Passo 4

Antes de integrar em y, é útil expandir (x+y)^{2}:
(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.
Logo,
\frac{(x+y)^{2}}{2}=\frac{1}{2}x^{2}+x y+\frac{1}{2}y^{2}.
Agora integramos em y de 0 a 1, tratando x como constante:
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}x^{2}+x y+\frac{1}{2}y^{2}\right)dy = \frac{1}{2}x^{2}\int_{0}^{1}dy + x\int_{0}^{1}y\,dy + \frac{1}{2}\int_{0}^{1}y^{2}\,dy.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{1}dy = 1,\qquad \int_{0}^{1}y\,dy=\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2},\qquad \int_{0}^{1}y^{2}\,dy=\left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Substituindo:
\int_{0}^{1}\frac{(x+y)^{2}}{2}\,dy = \frac{1}{2}x^{2}\cdot 1 + x\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}.

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}\right)dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^{2}dx + \frac{1}{2}\int_{0}^{1}x\,dx + \frac{1}{6}\int_{0}^{1}dx.
Calcule as primitivas:
\int_{0}^{1}x^{2}dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3},\qquad \int_{0}^{1}x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2},\qquad \int_{0}^{1}dx=1.
Substituindo:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\cdot 1 = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}.
Some as frações: \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, então
\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}.

Passo 6

Conclusão: o valor da integral tripla é \dfrac{7}{12}. Pequena interpretação para motivar: integrar z sobre E dá a “massa” se a densidade fosse \rho=z; o cálculo mostrou como reduzir uma integral tripla a iteradas simples e resolver passo a passo as antiderivadas.

Resposta

\dfrac{7}{12}

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