Sejam A(1,3) e C(7,9) dois vértices do losango A B C D.
(a) Determine as coordenadas do ponto M de interseção das diagonais de A B C D.
(b) Suponha que \|\overrightarrow{B D}\|=2\|\overrightarrow{A C}\|. Determine as coordenadas de B e D.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,3) e C(7,9) e pede duas coisas:
(a) determinar as coordenadas do ponto M de interseção das diagonais do losango ABCD;
(b) supondo que \|\overrightarrow{BD}\|=2\|\overrightarrow{AC}\|, determinar as coordenadas de B e D.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A=(1,3),\qquad C=(7,9).

Passo 2

Conceito importante e fórmula que vamos usar para (a): o ponto de interseção das diagonais de um losango é o ponto médio do segmento que une dois vértices opostos. A fórmula do ponto médio de dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\; \frac{y_1+y_2}{2}\right).
Aqui aplicamos ao segmento \overline{AC}. Calculando coordenada a coordenada:
\text{abscissa do ponto médio}=\frac{1+7}{2}=\frac{8}{2}=4,é
\text{ordenada do ponto médio}=\frac{3+9}{2}=\frac{12}{2}=6.é
Portanto, o ponto de interseção das diagonais é
M=(4,6).

Passo 3

Agora a parte (b). Vamos usar duas propriedades fundamentais dos losangos:
  1. As diagonais se cruzam no ponto médio de cada uma (ou seja, M é também o ponto médio de \overline{BD}). Assim, M=\dfrac{B+D}{2}.
  2. As diagonais de um losango são perpendiculares entre si.
Primeiro calculemos o vetor diagonal \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC}=C-A=(7-1,\;9-3)=(6,6).
O comprimento (norma) de \overrightarrow{AC} é
\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}.
Pelo enunciado, \|\overrightarrow{BD}\|=2\|\overrightarrow{AC}\|. Logo
\|\overrightarrow{BD}\|=2\cdot 6\sqrt{2}=12\sqrt{2}.
Agora usemos a perpendicularidade: se \overrightarrow{BD}=(x,y), então
\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AC}=0 \quad\Rightarrow\quad (x,y)\cdot(6,6)=6x+6y=0,
ou seja
x+y=0.
Logo vetores com essa propriedade têm a forma (t,-t) para algum escalar t.
Calculamos t usando a condição de norma:
\|\overrightarrow{BD}\|=\sqrt{t^2+(-t)^2}=\sqrt{2t^2}=|t|\sqrt{2}.
Igualando a 12\sqrt{2}:
|t|\sqrt{2}=12\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad |t|=12.
Portanto os possíveis vetores \overrightarrow{BD} são (12,-12) ou (-12,12).
Como M é o ponto médio de BD, o vetor de M até B (ou até D) é metade de \overrightarrow{BD}. Assim o semivetor é \left(\frac{12}{2},\frac{-12}{2}\right)=(6,-6) ou (-6,6).
Agora obtenha as coordenadas: lembrando M=(4,6),
  • Se escolhermos o semivetor \overrightarrow{MB}=(6,-6), então
B=M+\overrightarrow{MB}=(4+6,\;6-6)=(10,0),
e
D=M-\overrightarrow{MB}=(4-6,\;6+6)=(-2,12).
  • Se escolhermos o semivetor \overrightarrow{MB}=(-6,6), então trocamos B e D:
B=(4-6,\;6+6)=(-2,12),
D=(4+6,\;6-6)=(10,0).
Ambas as opções são geometricamente válidas; correspondem apenas à escolha de qual ponto chamamos de B e qual chamamos de D.

Passo 4

Verificação rápida (útil para prova): distância entre A e C é 6\sqrt{2}. Distância entre os pontos obtidos B e D (por exemplo B=(10,0), D=(-2,12)) é
\sqrt{(-2-10)^2+(12-0)^2}=\sqrt{(-12)^2+12^2}=\sqrt{144+144}=\sqrt{288}=12\sqrt{2},
que é exatamente 2\|\overrightarrow{AC}\|. Além disso, \overrightarrow{AC}=(6,6) é perpendicular a \overrightarrow{BD}=(-12,12) pois o produto escalar é 6\cdot(-12)+6\cdot 12=0. Tudo confere.

Resposta

(a) M=(4,6)
(b) B=(10,0),\; D=(-2,12) ou B=(-2,12),\; D=(10,0)

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