Sejam A(1,3) e C(7,9) dois vértices do losango A B C D.
(a) Determine as coordenadas do ponto M de interseção das diagonais de A B C D.
(b) Suponha que \|\overrightarrow{B D}\|=2\|\overrightarrow{A C}\|. Determine as coordenadas de B e D.
Passo 1
O enunciado dá os pontos A(1,3) e C(7,9) e pede duas coisas:
(a) determinar as coordenadas do ponto M de interseção das diagonais do losango ABCD;
(b) supondo que \|\overrightarrow{BD}\|=2\|\overrightarrow{AC}\|, determinar as coordenadas de B e D.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A=(1,3),\qquad C=(7,9).
Passo 2
Conceito importante e fórmula que vamos usar para (a): o ponto de interseção das diagonais de um losango é o ponto médio do segmento que une dois vértices opostos. A fórmula do ponto médio de dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
Portanto os possíveis vetores \overrightarrow{BD} são (12,-12) ou (-12,12).
Como M é o ponto médio de BD, o vetor de M até B (ou até D) é metade de \overrightarrow{BD}. Assim o semivetor é \left(\frac{12}{2},\frac{-12}{2}\right)=(6,-6) ou (-6,6).
Agora obtenha as coordenadas: lembrando M=(4,6),
Se escolhermos o semivetor \overrightarrow{MB}=(6,-6), então
B=M+\overrightarrow{MB}=(4+6,\;6-6)=(10,0),
e
D=M-\overrightarrow{MB}=(4-6,\;6+6)=(-2,12).
Se escolhermos o semivetor \overrightarrow{MB}=(-6,6), então trocamos B e D:
B=(4-6,\;6+6)=(-2,12),
D=(4+6,\;6-6)=(10,0).
Ambas as opções são geometricamente válidas; correspondem apenas à escolha de qual ponto chamamos de B e qual chamamos de D.
Passo 4
Verificação rápida (útil para prova): distância entre A e C é 6\sqrt{2}. Distância entre os pontos obtidos B e D (por exemplo B=(10,0), D=(-2,12)) é
que é exatamente 2\|\overrightarrow{AC}\|. Além disso, \overrightarrow{AC}=(6,6) é perpendicular a \overrightarrow{BD}=(-12,12) pois o produto escalar é 6\cdot(-12)+6\cdot 12=0. Tudo confere.
Resposta
(a) M=(4,6)
(b) B=(10,0),\; D=(-2,12) ou B=(-2,12),\; D=(10,0)