Sejam A(1,5) e B(4,9). Encontre as coordenadas dos pontos C e D tais que o quadrilátero A B C D seja um retângulo cuja área é 50.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,5) e B(4,9) e pede para encontrar coordenadas de C e D de modo que o quadrilátero A B C D seja um retângulo de área 50.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os vértices estão na ordem A,B,C,D (ou seja, AB e BC são lados adjacentes do retângulo).
  • As coordenadas de A e B são A(1,5) e B(4,9).
  • A área do retângulo é 50.

Passo 2

Vamos escrever o vetor que representa o lado AB. Subtrair coordenadas dá o vetor de A para B:
\overrightarrow{AB} = B - A = (4-1,\;9-5) = (3,4).
Explico: vetor (x_2-x_1,y_2-y_1) aponta de A para B.

Passo 3

Calcular o comprimento (módulo) de \overrightarrow{AB}. A fórmula do módulo de um vetor (x,y) é \sqrt{x^2+y^2}. Aplicando:
\lVert \overrightarrow{AB}\rVert = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.
Comentário didático: isso significa que o lado AB tem comprimento 5.

Passo 4

Relação área do retângulo: área = (comprimento de um lado) \times (comprimento do lado adjacente). Como AB é um lado, se chamarmos \lVert \overrightarrow{BC}\rVert o comprimento do lado adjacente, temos
\text{Área} = \lVert \overrightarrow{AB}\rVert \cdot \lVert \overrightarrow{BC}\rVert.Á
Substituindo os valores conhecidos ( \text{Área}=50Á e \lVert \overrightarrow{AB}\rVert=5):
50 = 5 \cdot \lVert \overrightarrow{BC}\rVert \quad\Rightarrow\quad \lVert \overrightarrow{BC}\rVert = \frac{50}{5} = 10.
Então o lado BC deve ter comprimento 10.

Passo 5

Condição de retângulo: os lados adjacentes são perpendiculares. Em termos de vetores, dois vetores (x_1,y_1) e (x_2,y_2) são perpendiculares quando o produto escalar é zero:
(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2=0.
No caso, \overrightarrow{AB}=(3,4). Vetores perpendiculares a (3,4) são, por exemplo, (-4,3) e (4,-3) (rotacionando 90°). Verificação rápida:
(3,4)\cdot(-4,3)=3(-4)+4(3)=-12+12=0.

Passo 6

Agora precisamos ajustar um vetor perpendicular para que seu comprimento seja 10. Observe que (-4,3) tem comprimento
\lVert(-4,3)\rVert=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Para obter comprimento 10 basta multiplicar por 2. Assim dois candidatos para \overrightarrow{BC} são
\overrightarrow{BC}_1 = 2\cdot(-4,3) = (-8,6),
\overrightarrow{BC}_2 = 2\cdot(4,-3) = (8,-6).
Esses dois representam as duas direções possíveis (um retângulo “para um lado” ou “para o outro”).

Passo 7

Calcular as coordenadas de C a partir de B somando o vetor \overrightarrow{BC}. Para a primeira opção:
C_1 = B + \overrightarrow{BC}_1 = (4,9) + (-8,6) = (4-8,\;9+6)=(-4,15).
Para a segunda opção:
C_2 = B + \overrightarrow{BC}_2 = (4,9) + (8,-6) = (4+8,\;9-6)=(12,3).

Passo 8

Calcular as coordenadas de D. Em um retângulo D é A + \overrightarrow{BC} (porque \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} e os lados opostos são iguais). Para a primeira opção:
D_1 = A + \overrightarrow{BC}_1 = (1,5) + (-8,6) = (1-8,\;5+6)=(-7,11).
Para a segunda opção:
D_2 = A + \overrightarrow{BC}_2 = (1,5) + (8,-6) = (1+8,\;5-6)=(9,-1).

Passo 9

Verificações rápidas (a gente confere que está tudo certo):
  • O vetor \overrightarrow{AB}=(3,4) é perpendicular a \overrightarrow{BC}_1=(-8,6) porque (3,4)\cdot(-8,6)=3(-8)+4(6)=-24+24=0. O mesmo para \overrightarrow{BC}_2.
  • O comprimento de \overrightarrow{BC}_1 e \overrightarrow{BC}_2 é \sqrt{(-8)^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.
  • Área =5\cdot 10=50. Tudo consistente.

Resposta

C(-4,15),\; D(-7,11)
C(12,3),\; D(9,-1)

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