Sejam A(1,5) e B(4,9). Encontre as coordenadas dos pontos C e D tais que o quadrilátero A B C D seja um retângulo cuja área é 50.
Passo 1
O enunciado dá os pontos A(1,5) e B(4,9) e pede para encontrar coordenadas de C e D de modo que o quadrilátero A B C D seja um retângulo de área 50.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Os vértices estão na ordem A,B,C,D (ou seja, AB e BC são lados adjacentes do retângulo).
As coordenadas de A e B são A(1,5) e B(4,9).
A área do retângulo é 50.
Passo 2
Vamos escrever o vetor que representa o lado AB. Subtrair coordenadas dá o vetor de A para B:
\overrightarrow{AB} = B - A = (4-1,\;9-5) = (3,4).
Explico: vetor (x_2-x_1,y_2-y_1) aponta de A para B.
Passo 3
Calcular o comprimento (módulo) de \overrightarrow{AB}. A fórmula do módulo de um vetor (x,y) é \sqrt{x^2+y^2}. Aplicando:
Comentário didático: isso significa que o lado AB tem comprimento 5.
Passo 4
Relação área do retângulo: área = (comprimento de um lado) \times (comprimento do lado adjacente). Como AB é um lado, se chamarmos \lVert \overrightarrow{BC}\rVert o comprimento do lado adjacente, temos
Condição de retângulo: os lados adjacentes são perpendiculares. Em termos de vetores, dois vetores (x_1,y_1) e (x_2,y_2) são perpendiculares quando o produto escalar é zero:
(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2=0.
No caso, \overrightarrow{AB}=(3,4). Vetores perpendiculares a (3,4) são, por exemplo, (-4,3) e (4,-3) (rotacionando 90°). Verificação rápida:
(3,4)\cdot(-4,3)=3(-4)+4(3)=-12+12=0.
Passo 6
Agora precisamos ajustar um vetor perpendicular para que seu comprimento seja 10. Observe que (-4,3) tem comprimento
Calcular as coordenadas de D. Em um retângulo D é A + \overrightarrow{BC} (porque \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} e os lados opostos são iguais). Para a primeira opção:
Verificações rápidas (a gente confere que está tudo certo):
O vetor \overrightarrow{AB}=(3,4) é perpendicular a \overrightarrow{BC}_1=(-8,6) porque (3,4)\cdot(-8,6)=3(-8)+4(6)=-24+24=0. O mesmo para \overrightarrow{BC}_2.
O comprimento de \overrightarrow{BC}_1 e \overrightarrow{BC}_2 é \sqrt{(-8)^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.