Encontre o vetor \vec{u}_{1} que é a projeção de \vec{v} em \vec{w} e encontre o vetor \vec{u}_{2} que é ortogonal a \vec{w} para os seguintes vetores:
\vec{v}=(2,3,-1) e \vec{w}=(0,2,5)

Passo 1

O enunciado pede para decompor o vetor \vec{v}=(2,3,-1) em duas partes:
  1. \vec{u}_1, que é a projeção de \vec{v} sobre \vec{w}=(0,2,5).
  2. \vec{u}_2, que é o complemento ortogonal a \vec{w}, ou seja, \vec{u}_2=\vec{v}-\vec{u}_1.
    O conteúdo necessário aqui é a definição de projeção de um vetor sobre outro, dada por
\mathrm{proj}_{\vec w}(\vec v) =\frac{\langle \vec v,\vec w\rangle}{\langle \vec w,\vec w\rangle}\,\vec w.

Passo 2

Vamos calcular os produtos internos \langle \vec v,\vec w\rangle e \langle \vec w,\vec w\rangle.
\langle \vec v,\vec w\rangle =2\cdot0 + 3\cdot2 + (-1)\cdot5 = 0 + 6 -5 = 1,
\langle \vec w,\vec w\rangle =0^2 + 2^2 + 5^2 = 0 + 4 + 25 = 29.

Passo 3

O coeficiente escalar da projeção é
\alpha = \frac{\langle \vec v,\vec w\rangle}{\langle \vec w,\vec w\rangle} =\frac{1}{29}.
Logo,
\vec u_1 = \mathrm{proj}_{\vec w}(\vec v) =\alpha\,\vec w =\frac{1}{29}(0,2,5) =\Bigl(0,\frac{2}{29},\frac{5}{29}\Bigr).

Passo 4

Para achar \vec u_2, subtraímos \vec u_1 de \vec v:
\vec u_2 = \vec v - \vec u_1 =\Bigl(2,3,-1\Bigr) -\Bigl(0,\tfrac{2}{29},\tfrac{5}{29}\Bigr) =\Bigl(2,\;3-\tfrac{2}{29},\;-1-\tfrac{5}{29}\Bigr).
Podemos reescrever os componentes num único denominador:
3-\tfrac{2}{29}=\frac{87-2}{29}=\frac{85}{29}, \quad -1-\tfrac{5}{29}=\frac{-29-5}{29}=\frac{-34}{29}.
Portanto
\vec u_2=\Bigl(2,\frac{85}{29},-\frac{34}{29}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \vec u_1=\Bigl(0,\frac{2}{29},\frac{5}{29}\Bigr)
\displaystyle \vec u_2=\Bigl(2,\frac{85}{29},-\frac{34}{29}\Bigr)

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