Questão 4 ( 3,0 pts) Encontrar os valores de a e b para os quais o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+a y-4 z=1 \\\\ -a x-16 y+(2+4 a) z=2-a \\\\ -x-a y+2 a z=b \end{array}\right.
possui uma única solução, infinitas soluções ou não tem soluções.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear 3\times 3\) em \(x,y,z\) com parâmetros \(a\) e \(b\): \[\begin{cases} x + a\,y - 4z = 1,\\\\ -\,a\,x -16\,y + (2+4a)\,z = 2 - a,\\\\ -\,x - a\,y + 2a\,z = b. \end{cases}
O conteúdo é resolução de sistemas lineares usando o determinante (Critério de Cramer) para decidir quando há única solução \det\neq0\] e, se \(\det=0, analisar consistência (posto da matriz dos coeficientes versus posto da matriz ampliada) para ver se há infinitas soluções ou nenhuma.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & a & -4\\\\ -\,a & -16 & 2+4a\\\\ -1 & -a & 2a \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante \Delta=\det A por expansão na primeira linha:
\Delta = 1\cdot \begin{vmatrix} -16 & 2+4a\\\\ -a & 2a\end{vmatrix} - a\cdot \begin{vmatrix} -a & 2+4a\\\\ -1 & 2a\end{vmatrix} +(-4)\cdot \begin{vmatrix}-a & -16\\\\ -1 & -a\end{vmatrix}.
Agora calculamos cada menor:
\begin{aligned} M_{11}&=(-16)(2a)-(2+4a)(-a)=4a^2-30a,\\\ M_{12}&=(-a)(2a)-(2+4a)(-1)=-2a^2+2+4a,\\\ M_{13}&=(-a)(-a)-(-16)(-1)=a^2-16. \end{aligned}
Logo
\Delta = (4a^2-30a)\;-\;a\,(-2a^2+2+4a)\;-\;4\,(a^2-16).

Passo 3

Desenvolvendo e fatorando:
\Delta =2\bigl(a^3-2a^2-16a+32\bigr) =2\,(a-2)(a-4)(a+4).

Passo 4

Pelo Teorema de Cramer, se \Delta\neq0 (isto é, a\neq2,4,-4) o sistema tem exatamente uma solução, qualquer que seja b.

Passo 5

Se [\Delta=0), ou seja a\in\{2,4,-4\}, a matriz é singular e devemos verificar consistência:
Caso a=2:
O sistema fica
\begin{cases} x+2y-4z=1,\\\\ -2x-16y+10z=0,\\\\ -\,x-2y+4z=b. \end{cases}
Resolvendo as duas primeiras obtemos z=6y+1\], \(x=5+22y. Substituindo na terceira surge a condição
-\,x-2y+4z = -\bigl(5+22y\bigr)-2y+4(6y+1) = -1 = b.
Logo, se b=-1 há infinitas soluções (uma família em função de y), e se b\neq -1 não há solução.

Passo 6

Caso a=4\): \[\begin{cases} x+4y-4z=1,\\\\ -4x-16y+18z=-2,\\\\ -\,x-4y+8z=b. \end{cases}
Dessa análise vem z=1\], \(x=5-4y e na terceira equação obtém-se b=3.
Se b=3 há infinitas soluções, senão não há solução.

Passo 7

Caso a=-4\): \[\begin{cases} x-4y-4z=1,\\\\ 4x-16y-14z=6,\\\\ -\,x+4y-8z=b. \end{cases}
Da redução vem z=1\], \(x=5+4y e a terceira impõe b=-13.
Se b=-13 há infinitas soluções, caso contrário o sistema é impossível.

Resposta

– Única solução para a\neq2,4,-4 (qualquer b).
– Infinitas soluções para \;a=2,\,b=-1;\quad a=4,\,b=3;\quad a=-4,\,b=-13.
– Sem solução nos demais casos em que a\in\{2,4,-4\} mas b não satisfaz as condições acima.

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