Encontre o vetor \vec{u}_{1} que é a projeção de \vec{v} em \vec{w} e encontre o vetor \vec{u}_{2} que é ortogonal a \vec{w} para os seguintes vetores:
\vec{v}=(-1,-2,1) e \vec{w}=(1,-3,2)

Passo 1

O enunciado pede para decompor o vetor \vec v=(-1,-2,1) em duas partes: \vec u_{1}, que é a projeção de \vec v sobre \vec w=(1,-3,2), e \vec u_{2}, que é o componente de \vec v ortogonal a \vec w. Vamos usar a fórmula de projeção
\vec u_{1} = \mathrm{proj}_{\vec w}\vec v = \frac{\vec v\cdot\vec w}{\vec w\cdot\vec w}\,\vec w
e depois obter \vec u_{2}=\vec v-\vec u_{1}.

Passo 2

Calcular o produto escalar \vec v\cdot\vec w e \vec w\cdot\vec w:
\vec v\cdot\vec w = (-1)\cdot1 + (-2)\cdot(-3) + 1\cdot2 = -1 + 6 + 2 = 7,
\vec w\cdot\vec w = 1^2 + (-3)^2 + 2^2 = 1 + 9 + 4 = 14.

Passo 3

Obter o coeficiente escalar da projeção:
\lambda = \frac{\vec v\cdot\vec w}{\vec w\cdot\vec w} = \frac{7}{14} = \tfrac12.

Passo 4

Calcular \vec u_{1} = \lambda\,\vec w:
\vec u_{1} = \tfrac12\,(1,-3,2) = \bigl(\tfrac12,\,-\tfrac32,\,1\bigr).

Passo 5

Encontrar \vec u_{2} = \vec v - \vec u_{1} e verificar que é ortogonal a \vec w:
\vec u_{2} = (-1,-2,1) - \bigl(\tfrac12,-\tfrac32,1\bigr) = \bigl(-\tfrac32,\,-\tfrac12,\,0\bigr).
Confirmação rápida:
\vec u_{2}\cdot\vec w = \bigl(-\tfrac32\bigr)\cdot1 + \bigl(-\tfrac12\bigr)\cdot(-3) + 0\cdot2 = -\tfrac32 + \tfrac32 + 0 = 0.

Resposta

\displaystyle \vec u_{1} = \bigl(\tfrac12,\,-\tfrac32,\,1\bigr), \displaystyle \vec u_{2} = \bigl(-\tfrac32,\,-\tfrac12,\,0\bigr).

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