Encontre o vetor X tal que X times(1,0,1)=2 i-2 j-2 k e |X|=raiz6.

Passo 1

O enunciado pede um vetor X=(x,y,z) tal que o produto vetorial
Xtimes(1,0,1)
seja igual ao vetor ,2,i-2,j-2,k e que
|X|=raiz6.
O conteúdo usado será definição de produto vetorial em coordenadas e cálculo de norma.

Passo 2

Calculemos em coordenadas o produto Xtimes(1,0,1). Pela regra de determinante:
Xtimes(1,0,1) = i&j&k x&y&z 1&0&1 =l(ycdot1 - zcdot0,;-l(xcdot1 - zcdot1r),;xcdot0 - ycdot1r) =(y,,-(x - z),,-y)

Passo 3

Igualando
Da primeira e da terceira equações vem (y=2]. Da segunda vem

Passo 4

Restou usar a condição |X|=raiz6, isto é,
x^2 + y^2 + z^2 = 6
Substituindo y=2 e z = x - 2 na norma:
x^2 + 2^2 + (x-2)^2 = 6 Longrightarrow x^2 + 4 + x^2 - 4x +4 =6 Longrightarrow 2x^2 -4x +2 =0 Longrightarrow (x-1)^2 =0,
logo x=1 e z = 1-2 = -1.

Resposta

O vetor procurado é
X = (1,,2,,-1)

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