Um fabricante de aparelhos estereofônicos produz dois modelos, “padrão” e “de luxo”. O modelo padrão precisa de duas horas de tempo de montagem e consome 24 peças de madeira; o modelo de luxo gasta 2 horas de tempo de montagem e consome 32 peças de madeira. O fabricante dispõe de 1200 horas e de 16320 peças de madeira por mês. Se o fabricante tem um lucro de 100 ã$150 áêáçãããã\leq$ ) para caracterizar “no máximo”. O lucro L (x,y) é uma combinação linear entre as variáveis e o preço.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar o lucro mensal de dois tipos de aparelhos, “padrão” e “de luxo”, sujeitos a duas limitações de recurso (horas de montagem e peças de madeira). O conteúdo matemático é um problema de Programação Linear em duas variáveis, que resolveremos identificando os vértices da região viável e avaliando o lucro em cada um.

Passo 2

Definimos
x = número de aparelhos do modelo padrão
y = número de aparelhos do modelo de luxo
O lucro total é dado pela função objetivo
L(x,y)=100x+150y
As restrições vêm dos recursos disponíveis e da não-negatividade:
Tempo de montagem:
2x+2y<=1200Longrightarrow x+y<=600
Madeira:
24x+32y<=16320
Não-negatividade:
x>=0, y>=0

Passo 3

Determinamos os v’ertices da regi~ao vi’avel:
[1). Interse\cc~ao com os eixos:
  • na madeira d’a ; .
  • no tempo d’a ; .
    . Origem .
    . Interse\cc~ao das retas
Multiplicando a primeira por (24] e subtraindo da segunda:
v’ertice .

Passo 4

Calculamos o lucro em cada vértice:
  • Em (0,0): L=0.
  • Em (600,0): L=100cdot600+150cdot0=60000.
  • Em (0,510): L=100cdot0+150cdot510=76500.
  • Em (360,240): L=100cdot360+150cdot240=72000.

Passo 5

O maior lucro ocorre em (x,y)=(0,510), ou seja, fabricar 0 aparelhos padrão e 510 aparelhos de luxo.

Resposta

x=0, y=510.

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