Um projétil é lançado com:
  • Velocidade inicial: 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
  • Angulo: 30^{\circ} com a horizontal
Decomponha nas componentes x e y.

Passo 1

O enunciado pede a decomposição da velocidade inicial nas componentes horizontal e vertical. Dados fornecidos (copiados do enunciado):
V=50\\ \mathrm{m/s} e o ângulo com a horizontal é \theta=30^\circ.
Perguntas a responder: encontrar as componentes V_x (horizontal) e V_y (vertical) da velocidade inicial.

Passo 2

Escolhemos um sistema de referência simples: eixo x horizontal positivo para a direita e eixo y vertical positivo para cima. Denotamos por \vec{V} o vetor velocidade inicial e por V_x, V_y suas componentes tal que
\vec{V} = \langle V_x,\,V_y\rangle.
O ângulo \theta é medido entre \vec{V} e o eixo x (horizontal), conforme dado no enunciado.

Passo 3

Explicação geométrica-trigonométrica (por que usamos seno e cosseno): ao projetar o vetor velocidade sobre os eixos formamos um triângulo retângulo onde a hipotenusa é V e os catetos são V_x (adjacente ao ângulo \theta) e V_y (oposto ao ângulo \theta). Nas definições básicas de trigonometria para um ângulo \theta em um triângulo retângulo temos:
\cos\theta=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}},\qquad \sin\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
Aplicando isso ao nosso vetor:
V_x = V\cos\theta,\qquad V_y = V\sin\theta.
Isto significa: para obter a componente horizontal multiplicamos a magnitude pela cosseno do ângulo; para a vertical usamos o seno.

Passo 4

Valores trigonométricos especiais para \theta=30^\circ. Pelo triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ (metade de um triângulo equilátero) sabemos que:
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.
Breve justificativa: dividindo um triângulo equilátero de lado 1 ao meio obtemos um triângulo retângulo com hipotenusa 1, cateto pequeno \tfrac{1}{2} e cateto maior \tfrac{\sqrt{3}}{2}, daí vêm os valores acima.

Passo 5

Agora substituímos os valores conhecidos nas fórmulas das componentes. Para a componente horizontal:
V_x = V\cos\theta = 50\cdot\cos 30^\circ = 50\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}.
Para a componente vertical:
V_y = V\sin\theta = 50\cdot\sin 30^\circ = 50\cdot\frac{1}{2} = 25.

Passo 6

Cálculo das aproximações numéricas (úteis se você quiser um valor decimal na prova). Como \sqrt{3}\approx 1,73205, temos
V_x = 25\sqrt{3}\approx 25\cdot 1,73205 \approx 43,301.
Arredondando razoavelmente:
V_x \approx 43,3\\ \mathrm{m/s},\qquad V_y = 25,0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Checagem rápida de consistência: a magnitude recombinada deve voltar a 50\\ \mathrm{m/s}. Verificamos:
\sqrt{V_x^2+V_y^2} = \sqrt{(25\sqrt{3})^2 + 25^2} = \sqrt{25^2(3+1)} = \sqrt{25^2\cdot 4} = 25\cdot 2 = 50,
logo está consistente.

Passo 8

Forma vetorial final: se quiser escrever a velocidade como vetor no plano,
\vec{V} = \langle 25\sqrt{3},\;25\rangle\\ \mathrm{m/s}\approx\langle 43,3,\;25\rangle\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

V_x = 25\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 43,3\\ \mathrm{m/s}
V_y = 25\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados