Encontre 3 vetores diferentes que tenham módulo igual a 10.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre 3 vetores diferentes que tenham módulo igual a 10.”
Informações dadas: o único dado é que o módulo (comprimento) de cada vetor deve ser 10.
O que é pedido: fornecer três vetores distintos (ou seja, com componentes diferentes) tais que o comprimento de cada um seja 10. Nada mais foi especificado (dimensionamento, direção etc.), então podemos escolher vetores em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3 — tanto faz, desde que o módulo seja 10.

Passo 2

Relembrando a definição de módulo de vetor (aula rápida, passo a passo):
  • Para um vetor em \mathbb{R}^2, se \mathbf{v}=(x,y), o módulo (norma) é dado por
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x e y são as componentes do vetor nos eixos x e y. O símbolo \|\cdot\| significa o comprimento do vetor.
  • Para um vetor em \mathbb{R}^3, se \mathbf{w}=(x,y,z), o módulo é
\|\mathbf{w}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
A ideia prática: para ter módulo 10 precisamos que a soma dos quadrados das componentes seja 100, porque \sqrt{\text{soma dos quadrados}}=10 implica soma dos quadrados =10^{2}=100.

Passo 3

Estratégia simples e muito usada na prova: escolher vetores com componentes fáceis (zeros, ou triângulos pitagóricos) para fazer as contas sem calculadora. Exemplo 1 — vetor sobre o eixo x. Escolho
\mathbf{v}_{1}=(10,0).
Cálculo do módulo:
\|\mathbf{v}_{1}\|=\sqrt{10^{2}+0^{2}}=\sqrt{100}=10.
Pronto: módulo igual a 10. Esse é o jeito mais direto — colocar todo o comprimento numa componente e zeros nas outras.

Passo 4

Exemplo 2 — usar um tríplice pitagórico clássico (6,8,10) em \mathbb{R}^2. Escolho
\mathbf{v}_{2}=(6,8).
Cálculo do módulo:
\|\mathbf{v}_{2}\|=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.
Aqui a vantagem é que as componentes são pequenas e inteiras; ótimo para prova sem calculadora.

Passo 5

Exemplo 3 — escolher um vetor em \mathbb{R}^3, para variar a dimensão. Uma escolha simples é colocar todo o comprimento na terceira componente:
\mathbf{v}_{3}=(0,0,10).
Cálculo do módulo:
\|\mathbf{v}_{3}\|=\sqrt{0^{2}+0^{2}+10^{2}}=\sqrt{100}=10.
Novamente vemos a mesma ideia: soma dos quadrados das componentes deve ser 100.

Passo 6

Verificações e dica prática para a prova: os três vetores escolhidos são diferentes entre si porque têm componentes diferentes; todos têm módulo 10. Se quiser gerar infinitas opções, use a forma polar em \mathbb{R}^2:
(10\cos\theta,\,10\sin\theta),
onde escolhendo qualquer \theta você obtém um vetor de módulo 10. Isso mostra que existem infinitos vetores com mesmo módulo — basta ajustar o ângulo. Respira; essa questão é simples e rápida na prova: escolha vetores com zeros ou triângulos pitagóricos para evitar contas complicadas.

Resposta

\mathbf{v}_{1}=(10,0)
\mathbf{v}_{2}=(6,8)
\mathbf{v}_{3}=(0,0,10)

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