Très forças atuam em um ponto:
  • \overrightarrow{F_{1}}: 100 \mathrm{~N} a 0^{\circ}
  • \vec{F}_{2}: 150 \mathrm{~N} a 60^{\circ}
  • F_{3}: 200 \mathrm{Na} 135^{\circ}
Calcule a força resultante (módulo e direção).

Passo 1

O enunciado dá três forças aplicadas no mesmo ponto e pede a força resultante (módulo e direção). Dados fornecidos:
\begin{aligned} \overrightarrow{F_{1}} &= 100\\ \mathrm{N}\\ \text{a } 0^\circ,\\\ \overrightarrow{F_{2}} &= 150\\ \mathrm{N}\\ \text{a } 60^\circ,\\\ \overrightarrow{F_{3}} &= 200\\ \mathrm{N}\\ \text{a } 135^\circ. \end{aligned}
Perguntas que devemos responder:
\text{(a) módulo da força resultante }R,\qquad\text{(b) direção da força resultante (ângulo em relação ao eixo }+x\text{).}óççãçâçã

Passo 2

Método: vamos decompor cada força em componentes cartesianas x e y, somar as componentes para obter R_x e R_y, e então calcular o módulo e a direção a partir dessas componentes.
Fórmulas fundamentais (essas são essenciais e fáceis de memorizar):
F_x = F\cos\theta,\qquad F_y = F\sin\theta,
onde F é o módulo da força e \theta é o ângulo medido a partir do eixo +x no sentido anti-horário. Aqui F_x é a componente horizontal (positiva para a direita) e F_y é a componente vertical (positiva para cima).
Exemplo rápido para fixar: se F=10\\ \mathrm{N} a 30^\circ, então F_x=10\cos30^\circ=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} e F_y=10\sin30^\circ=10\cdot\frac{1}{2}=5.

Passo 3

Decompondo \overrightarrow{F_{1}} (ângulo 0^\circ):
\cos0^\circ=1,\qquad \sin0^\circ=0,
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F_{1x}=100\cos0^\circ=100,\qquad F_{1y}=100\sin0^\circ=0.

Passo 4

Decompondo \overrightarrow{F_{2}} (ângulo 60^\circ). Lembrando valores trigonométricos padrão:
\cos60^\circ=\tfrac{1}{2},\qquad \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
F_{2x}=150\cos60^\circ=150\cdot\tfrac{1}{2}=75,
F_{2y}=150\sin60^\circ=150\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=75\sqrt{3}\approx129{,}9038\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Decompondo \overrightarrow{F_{3}} (ângulo 135^\circ). Use relações: 135^\circ=180^\circ-45^\circ, então
\cos135^\circ=-\cos45^\circ=-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin135^\circ=\sin45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
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F_{3x}=200\cos135^\circ=200\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-100\sqrt{2}\approx-141{,}4214,
F_{3y}=200\sin135^\circ=200\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{2}\approx141{,}4214.

Passo 6

Somando as componentes x e y para obter as componentes da resultante:
R_x = F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}=100 + 75 - 100\sqrt{2}=175-100\sqrt{2},
R_y = F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}=0 + 75\sqrt{3} + 100\sqrt{2}=75\sqrt{3}+100\sqrt{2}.
Avaliando numericamente (para termos valores práticos):
R_x \approx 33{,}57864376\\ \mathrm{N},\qquad R_y \approx 271{,}32516680\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Cálculo do módulo da resultante usando Pitágoras:
R=\sqrt{R_x^{2}+R_y^{2}}.
Podemos expandir exatamente R^2 para mostrar a conta exata:
\begin{aligned} R^2 &= (175-100\sqrt{2})^{2} + (75\sqrt{3}+100\sqrt{2})^{2}\\\ &=87500-35000\sqrt{2}+15000\sqrt{6}. \end{aligned}
Agora avaliando numericamente:
R\approx\sqrt{74744{,}87145868935}\approx273{,}395\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma conveniente para a prova, podemos usar R\approx273{,}4\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Cálculo da direção (ângulo \theta em relação ao eixo +x, medido anti-horário). Fórmula:
\theta=\arctan\!\left(\frac{R_y}{R_x}\right).
Antes de usar \arctan, escolhemos o quadrante: temos R_x>0 e R_y>0, portanto a resultante está no primeiro quadrante e a fórmula acima dá o ângulo correto diretamente.
Usando os valores numéricos:
\theta \approx \arctan\!\left(\frac{271{,}32516680}{33{,}57864376}\right)\approx \arctan(8{,}079)\approx82{,}94^\circ.
(Se usar calculadora: calcule \arctan em graus; se a calculadora só entregar radianos, converta multiplicando por \tfrac{180^\circ}{\pi}.)

Passo 9

Resumo e interpretação: a resultante tem módulo cerca de 273{,}4\\ \mathrm{N} e aponta quase verticalmente para cima, um pouco à direita do eixo +x (ângulo aproximadamente 82{,}94^\circ) — faz sentido porque as componentes verticais somam fortemente enquanto a componente horizontal resultante é pequena e positiva.

Resposta

R\approx273{,}4\\ \mathrm{N}
\theta\approx82{,}94^\circ

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