Encontre vetores ortogonais A, B, C pelo processo de Gram-Schmidt a partir de a, b, c:
a=(1,-1,0,0) b=(0,1,-1,0) c=(0,0,1,-1)
A, B, C e a, b, c são bases para os vetores perpendiculares a d=(1,1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^4:
a=(1,-1,0,0), b=(0,1,-1,0) e c=(0,0,1,-1), e pede que a partir deles usemos o processo de Gram–Schmidt para obter vetores A,B,C mutuamente ortogonais. Vamos usar a fórmula de projeção
proju(v) =lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u
e definir successivamente
A=a,
B=b-projA(b),
C=c-projA(c)-projB(c).

Passo 2

Definimos
A=a=(1,-1,0,0)
Calculamos
lang<= a,arang<==1^2+(-1)^2=2.

Passo 3

Para B temos
lang<= a,brang<= =1cdot0+(-1)cdot1+0cdot(-1)+0cdot0=-1,
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projA(b) =-12,a =l(-tfrac12,tfrac12,0,0r)
Então
B =b-projA(b) =l(0+tfrac12,;1-tfrac12,;-1,;0r) =l(tfrac12,tfrac12,-1,0r)
Para evitar frações, podemos escalar B por 2 sem perder ortogonalidade:
B=(1,1,-2,0)

Passo 4

Para C primeiro projetamos c em A. Como
lang<= a,crang<==0, esta projeção é zero.
Depois projetamos em B. Note que
lang<= B,Brang<= =1^2+1^2+(-2)^2+0^2=6, lang<= B,crang<= =1cdot0+1cdot0+(-2)cdot1+0cdot(-1)=-2
Então
projB(c) =-26,B =-tfrac13,(1,1,-2,0) =l(-tfrac13,-tfrac13,tfrac23,0r)
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C =c-projB(c) =l(0+tfrac13,;0+tfrac13,;1-tfrac23,;-1r) =l(tfrac13,tfrac13,tfrac13,-1r)
Multiplicando por 3 para eliminar frações, obtemos
C=(1,1,1,-3),
o que satisfaz lang<= A,Crang<==0 e lang<= B,Crang<==0.

Resposta

A=(1,-1,0,0), B=(1,1,-2,0), C=(1,1,1,-3)

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