Encontre os vetores T, N e B no ponto indicado.
r(t)=lang<= t, t^2, t^3rang<=, (1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar em (1,1,1) os versores tangente T, normal principal N e binormal B da curva r(t)=lang<= t,,t^2,,t^3rang<=. Vamos usar que:
  • T(t)=dfracr'(t)|r'(t)|
  • N(t)=dfracT'(t)|T'(t)|
  • B(t)=T(t)timesN(t)

Passo 2

Primeiro identificamos o parâmetro t tal que
r(t)=lang<= t,,t^2,,t^3rang<==(1,1,1). Como 1=t, 1=t^2 e 1=t^3 levam a t=1, ficamos sabendo que avaliamos tudo em t=1.

Passo 3

Calculamos r'(t)=lang<=1,,2t,,3t^2rang<=, logo
r'(1)=lang<=1,2,3rang<=, |r'(1)|=raiz1+4+9=raiz14
Assim
T(1)=lang<=1,2,3rang<=raiz14

Passo 4

Para N(1), precisamos de r''(t)=lang<=0,2,6trang<= e de T'(1). Fazendo contas (ou usando regra do quociente) obtemos
T'(1)=lang<=-11,-8,9rang<=7raiz14, |T'(1)|=raiz2667raiz14
Cancelando o denominador, o versor normal fica
N(1)=lang<=-11,-8,9rang<=raiz266

Passo 5

Finalmente calculamos o binormal como
B(1)=T(1)timesN(1)=lang<=1,2,3rang<=raiz14timeslang<=-11,-8,9rang<=raiz266=lang<=3,-3,1rang<=raiz19

Resposta

T(1)=dfraclang<=1,2,3rang<=raiz14,;N(1)=dfraclang<=-11,-8,9rang<=raiz266,;B(1)=dfraclang<=3,-3,1rang<=raiz19.

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