Questão 4 (2,0 pontos). a) Mostre que lim x +infty cos (x)x=0 e lim x +infty sen(x)x=0
b) Calcule o seguinte limite
lim x +infty -2 x^5+2 cos (x)-4 x^3 sen^2(x)3 x^5+3 x^3-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente calcular alguns limites quando $ x $ vai para o infinito. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, especialmente lidando com funções trigonométricas e polinomiais. Para isso, vamos precisar entender como diferentes tipos de funções se comportam quando $ x $ cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a parte a) da questão, onde precisamos mostrar que:
lim x +infty cos (x)x=0 e lim x +infty sin(x)x=0
Aqui, a gente tem funções trigonométricas divididas por $ x $. Sabemos que $ \cos(x) $ e $ \sin(x) $ oscilam entre -1 e 1, ou seja, eles nunca passam desses valores, não importando o valor de $ x $. Então, quando a gente divide um número que fica entre -1 e 1 por um $ x $ que está crescendo para o infinito, o resultado vai ficando cada vez menor, tendendo para zero.

Passo 3

Vamos formalizar isso usando uma propriedade de limites. Se $ f(x) $ é limitado, ou seja, tem um valor máximo $ M $ tal que $ |f(x)| \leq M $ para todo $ x $, então:
f(x)
No nosso caso, $ \cos(x) $ e $ \sin(x) $ são limitados por 1 em valor absoluto. Portanto:
M

Passo 4

Agora, vamos para a parte b) da questão. Precisamos calcular o limite:
lim x +infty -2 x^5+2 cos (x)-4 x^3 sin^2(x)3 x^5+3 x^3-2
Aqui, a gente tem um polinômio de quinto grau no numerador e no denominador, além de termos funções trigonométricas. A ideia é identificar quais termos dominam quando $ x $ vai para o infinito.

Passo 5

Primeiro, observamos os termos de maior grau em $ x $ tanto no numerador quanto no denominador. No numerador, o termo de maior grau é $ -2x^5 $ e no denominador é $ 3x^5 $. Os outros termos, como $ 2\cos(x) $ e $ -4x^3 \sin^2(x) $, crescem mais devagar ou são limitados, então, quando $ x $ cresce muito, eles têm pouca influência no limite.

Passo 6

Então, podemos simplificar o limite focando apenas nos termos de maior grau:
lim x +infty -2 x^53 x^5 = lim x +infty -23 = -23
Os demais termos desaparecem porque, comparados a $ x^5 $, eles se tornam insignificantes quando $ x $ vai para o infinito.

Resposta

a) lim x +infty cos (x)x=0 e lim x +infty sin(x)x=0
b) lim x +infty -2 x^5+2 cos (x)-4 x^3 sin^2(x)3 x^5+3 x^3-2 = -23

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