Questão 4 (2,0 pontos). a) Mostre que
e
b) Calcule o seguinte limite
b) Calcule o seguinte limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente calcular alguns limites quando $ x $ vai para o infinito. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, especialmente lidando com funções trigonométricas e polinomiais. Para isso, vamos precisar entender como diferentes tipos de funções se comportam quando $ x $ cresce sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a parte a) da questão, onde precisamos mostrar que:
Aqui, a gente tem funções trigonométricas divididas por $ x $. Sabemos que $ \cos(x) $ e $ \sin(x) $ oscilam entre -1 e 1, ou seja, eles nunca passam desses valores, não importando o valor de $ x $. Então, quando a gente divide um número que fica entre -1 e 1 por um $ x $ que está crescendo para o infinito, o resultado vai ficando cada vez menor, tendendo para zero.
Passo 3
Vamos formalizar isso usando uma propriedade de limites. Se $ f(x) $ é limitado, ou seja, tem um valor máximo $ M $ tal que $ |f(x)| \leq M $ para todo $ x $, então:
No nosso caso, $ \cos(x) $ e $ \sin(x) $ são limitados por 1 em valor absoluto. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos para a parte b) da questão. Precisamos calcular o limite:
Aqui, a gente tem um polinômio de quinto grau no numerador e no denominador, além de termos funções trigonométricas. A ideia é identificar quais termos dominam quando $ x $ vai para o infinito.
Passo 5
Primeiro, observamos os termos de maior grau em $ x $ tanto no numerador quanto no denominador. No numerador, o termo de maior grau é $ -2x^5 $ e no denominador é $ 3x^5 $. Os outros termos, como $ 2\cos(x) $ e $ -4x^3 \sin^2(x) $, crescem mais devagar ou são limitados, então, quando $ x $ cresce muito, eles têm pouca influência no limite.
Passo 6
Então, podemos simplificar o limite focando apenas nos termos de maior grau:
Os demais termos desaparecem porque, comparados a $ x^5 $, eles se tornam insignificantes quando $ x $ vai para o infinito.
Resposta
a)
e
b)