Um trilho de trem precisa ser projetado para fazer transições lisas entre as seções de trilhos retos. Um trilho existente ao longo da parte negativa do eixo x precisa ser ligado a um trilho que corre ao longo da reta y=1 para x >= 1.
(a) Determine um polinômio P=P(x) de grau 5 tal que a função F definida por
F(x)= 0 & se x <= 0 P(x) & se 0= 1
seja contínua e tenha derivada e curvatura contínuas.

Passo 1

O problema pede um blend suave entre o trilho em y=0 (para x≤0) e o trilho em y=1 (para x≥1), de modo que F seja C² (continua, com derivada e curvatura contínuas). Isso cai exatamente num polinômio de Hermite de grau 5, já que precisamos satisfazer seis condições de contorno.

Passo 2

Assumindo
P(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+a5x^5,
calculamos
P'(x)=a1+2a2x+3a3x^2+4a4x^3+5a5x^4,
P''(x)=2a2+6a3x+12a4x^2+20a5x^3
Para assegurar C² em x=0 impomos:
$$P(0)=0
to a_0=0,
$$
P(0)=0 to a0=0,
P'(0)=0 to a1=0,
Logo só restam a_3,a_4,a_5 e
P''(0)=0 to a2=0

Passo 3

Em x=1 impomos as demais condições:
$$P(1)=1
to a_3+a_4+a_5=1,$$
$$P’(1)=0
to 3a_3+4a_4+5a_5=0,$$
$$P’’(1)=0
to 6a_3+12a_4+20a_5=0.$$
Isso gera um sistema linear de três equações para a_3,a_4,a_5.

Passo 4

Para resolver, note que dividindo a última por 2 e subtraindo a equação do meio:
3a3+6a4+10a5-(3a3+4a4+5a5)=0 to 2a4+5a5=0 to a4=-tfrac52a5
Substituindo em 3a_3+4a_4+5a_5=0 dá
$$3a_3-10a_5+5a_5=0
to a_3=\tfrac53a_5. 3a3-10a5+5a5=0 to a3=tfrac53a5\tfrac53a_5-\tfrac52a_5+a_5=1
to \tfrac16a_5=1
to a_5=6,$$
logo a_3=10 e a_4=-15.

Passo 5

Encontramos então o polinômio de transição de grau 5 desejado:
P(x)=10x^3-15x^4+6x^5

Resposta

P(x)=10x^3-15x^4+6x^5

Exercícios relacionados