Seja f(x, y)=e^{2 x} sen (y). Determine o indicado a seguir.
f_{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^{2x}\operatorname{sen}(y)
e pede várias derivadas parciais e mistas: \displaystyle f_x, f_y, f_{xx}, f_{yy} e f_{xy}.
Para resolver vamos usar:
  1. A derivada de e^{2x} em relação a x é 2e^{2x}.
  2. A derivada de \operatorname{sen}(y) em relação a y é \cos(y).
  3. Como f(x,y)=g(x)\,h(y), as derivadas parciais em x tratam h(y) como constante e vice-versa.

Passo 2

Calcular \displaystyle f_x.
Tratando \operatorname{sen}(y) como constante,
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{2x}\bigr)\,\operatorname{sen}(y) = 2e^{2x}\,\operatorname{sen}(y).

Passo 3

Calcular \displaystyle f_y.
Tratando e^{2x} como constante,
f_y = e^{2x}\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\operatorname{sen}(y)\bigr) = e^{2x}\,\cos(y).

Passo 4

Calcular \displaystyle f_{xx}.
Derivando f_x=2e^{2x}\operatorname{sen}(y) novamente em relação a x:
f_{xx} = 2\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{2x}\bigr)\,\operatorname{sen}(y) = 2\cdot2e^{2x}\,\operatorname{sen}(y) =4e^{2x}\,\operatorname{sen}(y).

Passo 5

Calcular \displaystyle f_{yy}.
Derivando f_y=e^{2x}\cos(y) em relação a y:
f_{yy} = e^{2x}\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(y)\bigr) = e^{2x}\,(-\operatorname{sen}(y)) = -e^{2x}\,\operatorname{sen}(y).

Passo 6

Calcular \displaystyle f_{xy}.
Podemos derivar f_x=2e^{2x}\operatorname{sen}(y) em relação a y, tratando 2e^{2x} como constante:
f_{xy} = 2e^{2x}\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\operatorname{sen}(y)\bigr) =2e^{2x}\,\cos(y).

Resposta

(a) \displaystyle f_x=2e^{2x}\operatorname{sen}(y)
(b) \displaystyle f_y=e^{2x}\cos(y)
(c) \displaystyle f_{xx}=4e^{2x}\operatorname{sen}(y)
(d) \displaystyle f_{yy}=-e^{2x}\operatorname{sen}(y)
(e) \displaystyle f_{xy}=2e^{2x}\cos(y)

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