Encontre os vetores V que satisfazem
  • |V|=12
  • O ângulo entre V e W=(1,-1,0) é de pi6
  • V é ortogonal a U=(1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os vetores VinR^3 tais que:
  1. |V|=12,
  2. o ângulo entre V e W=(1,-1,0) é pi/6,
  3. V é ortogonal a U=(1,1,0).
O conteúdo envolvido é produto escalar, norma de vetor e definição de ângulo entre vetores.

Passo 2

Escrevemos V=(x,y,z). A condição de ortogonalidade com U é
Vcdot U = x + y + 0 = 0,
logo
y = -x

Passo 3

A condição sobre o ângulo entre V e W usa
cosl(tfracpi6r) =Vcdot W|V|;|W|
Aqui |W|=raiz1^2+(-1)^2+0^2=raiz2 e cos(pi/6)=raiz3/2. Logo
Vcdot W = |V|;|W|;raiz32 =12cdotraiz2cdotraiz32 =6raiz6
Por outro lado,
Vcdot W = xcdot1 + ycdot(-1) + 0 = x - y = x -(-x)=2x
Então
2x = 6raiz6 Longrightarrow x = 3raiz6, y = -3raiz6

Passo 4

Falta ajustar z para que |V|=12. Calculamos
|V|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = (3raiz6)^2 +(-3raiz6)^2 + z^2 =54 + 54 + z^2 =108 + z^2
Queremos |V|^2=12^2=144, então
108 + z^2 = 144 Longrightarrow z^2 = 36 Longrightarrow z = pm 6

Resposta

As soluções são
V = l(3raiz6,,-3raiz6,,6r) ou V = l(3raiz6,,-3raiz6,,-6r)

Exercícios relacionados