Encontre os vetores tangente e normal unitários ao gráfico da função y=sen(x) em x=5 pi / 4.

Passo 1

A curva é o gráfico de y=sin(x), que a gente pode ver como a curva parametrizada por r(x)=(x,sin x). O conteúdo aqui é geometria diferencial de curvas planas: a gente vai precisar da derivada para achar o vetor tangente, normalizar para obter o vetor tangente unitário e depois derivar esse vetor para achar o vetor normal unitário.

Passo 2

Primeiro, calculamos o vetor tangente unitário. A derivada da parametrização é
r'(x)=(1,cos x), |r'(x)|=raiz1+cos^2x
Logo o vetor tangente unitário é
T(x)=r'(x)|r'(x)|=(1,cos x)raiz1+cos^2x

Passo 3

Em x=5pi/4 temos cos(5pi/4)=-tfracraiz22, então
Tl(5pi/4r)=l(1,-tfracraiz22r)raiz1+tfrac12=gl(raiz63,-raiz33gr)

Passo 4

Agora, para o vetor normal unitário, derivamos T(x) e normalizamos. Uma conta geral mostra que
T'(x)=l(cos xsin x(1+cos^2x)^3/2,-sin x(1+cos^2x)^3/2r)
e então
N(x)=T'(x)|T'(x)|

Passo 5

Em x=5pi/4 com sin(5pi/4)=-tfracraiz22, a normalização dá
Nl(5pi/4r)=l(tfrac1raiz3,tfracraiz2raiz3r)=l(tfracraiz33,tfracraiz63r)

Resposta

Tl(5pi/4r)=l(tfracraiz63,-tfracraiz33r), Nl(5pi/4r)=l(tfracraiz33,tfracraiz63r)

Exercícios relacionados