Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas nos Exercs. 3 a 10, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada
. (Observe que esta derivada, quando existe, é dada por
.)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar as equações de Cauchy-Riemann para verificar se a função $ w = z^3 $ é analítica e em que domínio isso acontece. Se for analítica, também vamos calcular a derivada $ f’(z) $. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar as equações de Cauchy-Riemann e entender o que significa uma função ser analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a função $ w = z^3 $ em termos de $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais, e $ i $ é a unidade imaginária. Então:
Vamos expandir essa expressão usando a fórmula do binômio de Newton.
Passo 3
Expandindo $ (x + iy)^3 $:
Simplificando cada termo:
Lembrando que $ i^2 = -1 $ e $ i^3 = -i $:
Agora, vamos separar as partes real e imaginária:
Então, podemos identificar:
Passo 4
Agora, vamos aplicar as equações de Cauchy-Riemann, que dizem que, para uma função ser analítica, as seguintes condições precisam ser satisfeitas:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Passo 6
Agora, vamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
Então, $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $.
E:
Também, $ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $.
Passo 7
Como ambas as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o plano complexo (não há restrições nos valores de $ x $ e $ y $), concluímos que a função $ w = z^3 $ é analítica em todo o domínio dos números complexos.
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada $ f’(z) $. De acordo com o enunciado, quando a função é analítica, a derivada é dada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
Vamos usar a parte real $ u(x, y) = x^3 - 3xy^2 $:
Mas também, sabemos que $ f’(z) $ pode ser calculada diretamente para $ f(z) = z^3 $, o que nos dá:
Resposta
A função $ w = z^3 $ é analítica em todo o plano complexo, e sua derivada é $ f’(z) = 3z^2 $.