Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas nos Exercs. 3 a 10, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada f^prime(z). (Observe que esta derivada, quando existe, é dada por partial f / partial x.)
w=z^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar as equações de Cauchy-Riemann para verificar se a função $ w = z^3 $ é analítica e em que domínio isso acontece. Se for analítica, também vamos calcular a derivada $ f’(z) $. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar as equações de Cauchy-Riemann e entender o que significa uma função ser analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função $ w = z^3 $ em termos de $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais, e $ i $ é a unidade imaginária. Então:
w = z^3
Vamos expandir essa expressão usando a fórmula do binômio de Newton.

Passo 3

Expandindo $ (x + iy)^3 $:
(x + iy)^3
Simplificando cada termo:
(x + iy)^3 = x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3
Lembrando que $ i^2 = -1 $ e $ i^3 = -i $:
= x^3 + 3ix^2y + 3x(i^2)y^2 + i^3y^3
Agora, vamos separar as partes real e imaginária:
i^2 = -1
Então, podemos identificar:
i^3 = -i
= x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3

Passo 4

Agora, vamos aplicar as equações de Cauchy-Riemann, que dizem que, para uma função ser analítica, as seguintes condições precisam ser satisfeitas:
partial upartial x = partial vpartial y
partial upartial y = -partial vpartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
partial upartial x = partialpartial x(x^3 - 3xy^2) = 3x^2 - 3y^2
partial vpartial y = partialpartial y(3x^2y - y^3) = 3x^2 - 3y^2
partial upartial y = partialpartial y(x^3 - 3xy^2) = -6xy
partial vpartial x = partialpartial x(3x^2y - y^3) = 6xy

Passo 6

Agora, vamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
partial upartial x = 3x^2 - 3y^2
partial vpartial y = 3x^2 - 3y^2
Então, $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $.
E:
partial upartial x = partial vpartial y
partial upartial y = -6xy
Também, $ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $.

Passo 7

Como ambas as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo o plano complexo (não há restrições nos valores de $ x $ e $ y $), concluímos que a função $ w = z^3 $ é analítica em todo o domínio dos números complexos.

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada $ f’(z) $. De acordo com o enunciado, quando a função é analítica, a derivada é dada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
Vamos usar a parte real $ u(x, y) = x^3 - 3xy^2 $:
f'(z)
Mas também, sabemos que $ f’(z) $ pode ser calculada diretamente para $ f(z) = z^3 $, o que nos dá:
partial fpartial x

Resposta

A função $ w = z^3 $ é analítica em todo o plano complexo, e sua derivada é $ f’(z) = 3z^2 $.

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