Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas nos Exercs. 3 a 10, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada
. (Observe que esta derivada, quando existe, é dada por
.)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função complexa dada por $ w = \overline{e^{z}} $, e precisamos usar as Equações de Cauchy-Riemann para verificar se essa função é analítica em algum domínio específico. Se for analítica, também vamos calcular sua derivada $ f^{\prime}(z) $. Para isso, vamos precisar entender o que são as Equações de Cauchy-Riemann e como aplicá-las.
Passo 2
Vamos começar expressando a função $ w = \overline{e^{z}} $ de forma mais detalhada. Primeiro, lembramos que $ z $ é um número complexo que podemos escrever como $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais, e $ i $ é a unidade imaginária.
Calculando $ e^{z} $:
Agora, aplicando o conjugado complexo:
Então, podemos escrever $ w $ em termos das funções reais $ u(x, y) $ e $ v(x, y) $:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para que uma função complexa $ f(z) = u + iv $ seja analítica em um domínio. As equações são:
Vamos calcular as derivadas parciais de $ u $ e $ v $:
Para $ u(x, y) = e^{x} \cos y $:
Para $ v(x, y) = -e^{x} \sin y $:
Passo 4
Agora, vamos verificar se as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
- Primeiro, comparamos $ \frac{\partial u}{\partial x} $ com $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
Claramente, $ e^{x} \cos y \neq -e^{x} \cos y $, a menos que $ e^{x} \cos y = 0 $, o que não ocorre de forma geral para todos os $ x $ e $ y $.
- Em segundo lugar, comparamos $ \frac{\partial u}{\partial y} $ com $ -\frac{\partial v}{\partial x} $:
Novamente, $ -e^{x} \sin y \neq e^{x} \sin y $, a menos que $ e^{x} \sin y = 0 $, o que também não ocorre de forma geral.
Passo 5
Como as Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas para a função $ w = \overline{e^{z}} $ de forma geral, concluímos que essa função não é analítica em nenhum domínio aberto do plano complexo.
Resposta
A função $ w = \overline{e^{z}} $ não é analítica em nenhum domínio aberto, pois não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann de maneira geral.