Encontre a equação da reta tangente à cicloide , em . Além disso, mostre que a cicloide possui concavidade voltada para baixo e determine seu comprimento de arco para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente à cicloide dada pelas equações paramétricas e no ponto onde . Além disso, precisamos mostrar que a cicloide tem concavidade voltada para baixo e calcular o comprimento do arco de até . Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial para encontrar a derivada, determinar a concavidade e integrar para achar o comprimento do arco.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na cicloide quando . Substituindo nas equações:
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada para determinar a inclinação da reta tangente. Como temos as equações paramétricas, usamos a fórmula:
Calculamos as derivadas de e em relação a :
Então,
Passo 4
Vamos avaliar no ponto :
A inclinação da reta tangente é 1 nesse ponto.
Passo 5
Com a inclinação y - y0 = m(x - x0) e o ponto y - 1 = 1(x - (pi2 - 1)) , podemos usar a fórmula da equação da reta:
y = x - pi2 + 2
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos mostrar que a cicloide tem concavidade voltada para baixo. Para isso, precisamos analisar a segunda derivada d^2ydx^2 = ddt(dydx) div dxdt .
Como é positivo para todo (já que ), temos que é negativo. Isso significa que a concavidade da cicloide está voltada para baixo.
Passo 7
Por fim, vamos determinar o comprimento do arco da cicloide de L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt até dxdt = 1 - cos(t) . A fórmula para o comprimento do arco em parametrização é:
A equação da reta tangente à cicloide no ponto é . Além disso, a cicloide possui concavidade voltada para baixo e o comprimento de arco no intervalo de é igual a 8 unidades.