Encontre a equação da reta tangente à cicloide x=t-sen(t), y=1-cos (t), em t=pi / 2. Além disso, mostre que a cicloide possui concavidade voltada para baixo e determine seu comprimento de arco para 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente à cicloide dada pelas equações paramétricas e no ponto onde . Além disso, precisamos mostrar que a cicloide tem concavidade voltada para baixo e calcular o comprimento do arco de até . Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial para encontrar a derivada, determinar a concavidade e integrar para achar o comprimento do arco.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na cicloide quando x = pi2 - sin(pi2) = pi2 - 1 . Substituindo y = 1 - cos(pi2) = 1 - 0 = 1 nas equações:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada dydx = dydtdxdt para determinar a inclinação da reta tangente. Como temos as equações paramétricas, usamos a fórmula:
dxdt = 1 - cos(t)
Calculamos as derivadas de dydt = sin(t) e dydx = sin(t)1 - cos(t) em relação a :
Então,

Passo 4

Vamos avaliar dydxg|t=pi2 = sin(pi2)1 - cos(pi2) = 11 - 0 = 1 no ponto :
A inclinação da reta tangente é 1 nesse ponto.

Passo 5

Com a inclinação y - y0 = m(x - x0) e o ponto y - 1 = 1(x - (pi2 - 1)) , podemos usar a fórmula da equação da reta:
y = x - pi2 + 2
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos mostrar que a cicloide tem concavidade voltada para baixo. Para isso, precisamos analisar a segunda derivada d^2ydx^2 = ddt(dydx) div dxdt .
Primeiro, encontramos ddt(sin(t)1 - cos(t)) = cos(t)(1 - cos(t)) - sin(t)sin(t)(1 - cos(t))^2 = cos(t) - cos^2(t) - sin^2(t)(1 - cos(t))^2 :
cos(t) - cos^2(t) - (1 - cos^2(t))(1 - cos(t))^2 = cos(t) - cos^2(t) - 1 + cos^2(t)(1 - cos(t))^2 = cos(t) - 1(1 - cos(t))^2
Calculando cos(t) - 1(1 - cos(t))^2 = -(1 - cos(t))(1 - cos(t))^2 = -11 - cos(t) :
d^2ydx^2 = -11 - cos(t) div (1 - cos(t)) = -1(1 - cos(t))^2
Utilizando a identidade :
Simplificando:
Então,
Como é positivo para todo (já que ), temos que é negativo. Isso significa que a concavidade da cicloide está voltada para baixo.

Passo 7

Por fim, vamos determinar o comprimento do arco da cicloide de L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt até dxdt = 1 - cos(t) . A fórmula para o comprimento do arco em parametrização é:
dydt = sin(t)
Calculamos L = integral0^2pi raiz(1 - cos(t))^2 + sin^2(t) , dt e (1 - cos(t))^2 + sin^2(t) = 1 - 2cos(t) + cos^2(t) + sin^2(t) = 2 - 2cos(t) :
L = integral0^2pi raiz2 - 2cos(t) , dt
raiz4sin^2(t2) = 2|sin(t2)|
Então,
L = integral0^2pi 2sin(t2) , dt = 4 integral0^pi sin(u) , du (u = t2)
Expandindo dentro da raiz:
4[-cos(u)]0^pi = 4[-cos(pi) + cos(0)] = 4[1 + 1] = 8
Então,
Usando a identidade trigonométrica :
Como , é não negativo, então:
Integrando:

Resposta

A equação da reta tangente à cicloide no ponto é . Além disso, a cicloide possui concavidade voltada para baixo e o comprimento de arco no intervalo de é igual a 8 unidades.

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