Encontre os vetores Tangente unitário, Normal unitário e Binormal da função
no ponto
.
Passo 1
Vamos recapitular o enunciado: a curva é dada por
e queremos os vetores tangente unitário
, normal unitário
e binormal
no ponto
. Para isso vamos usar as derivadas
e
, normalizar e aplicar as fórmulas de Frenet–Serret.
Passo 2
Precisamos achar o parâmetro
tal que
. Das componentes vem
,
e
. Concluímos que
.
Passo 3
Calculamos
. Em
isso dá
e sua norma é
Logo o vetor tangente unitário é
$$
T(1)=\frac{1}{3}\langle 2,2,1\rangle=\langle 2/3,2/3,1/3\rangle.$$
Passo 4
Para o vetor normal, calculamos primeiro
logo
Calculando o produto interno
e substituindo, obtemos
com norma
$$
N(1)=\frac{1}{2/3}\langle -2/9,4/9,-4/9\rangle=\langle -1/3,2/3,-2/3\rangle.$$
Passo 5
Finalmente, o binormal é o produto vetorial
. Fazendo
$$\langle 2/3,2/3,1/3\rangle\times\langle -1/3,2/3,-2/3\rangle
=\langle -2/3,1/3,2/3\rangle.$$