Encontre os vetores Tangente unitário, Normal unitário e Binormal da função
r(t)=lang<= t^2,(2 / 3) t^3, trang<=
no ponto (1,2 / 3,1).

Passo 1

Vamos recapitular o enunciado: a curva é dada por r(t)=lang<= t^2,tfrac23t^3,trang<= e queremos os vetores tangente unitário T, normal unitário N e binormal B no ponto (1,tfrac23,1). Para isso vamos usar as derivadas r'(t) e r''(t), normalizar e aplicar as fórmulas de Frenet–Serret.

Passo 2

Precisamos achar o parâmetro t tal que r(t)=(1,2/3,1). Das componentes vem t^2=1, tfrac23t^3=2/3 e t=1. Concluímos que t=1.

Passo 3

Calculamos r'(t)=lang<= 2t,2t^2,1rang<=. Em t=1 isso dá
r'(1)=lang<= 2,2,1rang<=,
e sua norma é
|r'(1)|=raiz2^2+2^2+1^2=3
Logo o vetor tangente unitário é
$$
T(1)=\frac{1}{3}\langle 2,2,1\rangle=\langle 2/3,2/3,1/3\rangle.$$

Passo 4

Para o vetor normal, calculamos primeiro
r''(t)=lang<= 2,4t,0rang<=
logo r''(1)=lang<= 2,4,0rang<=. A derivada de T é dada por
dTdt=|r'|r'' - (r''cdot T)r'|r'|^2
Calculando o produto interno r''(1)cdot T(1)=4 e substituindo, obtemos
dTdt=lang<= -2/9,4/9,-4/9rang<=,
com norma 2/3. Assim o normal unitário é
$$
N(1)=\frac{1}{2/3}\langle -2/9,4/9,-4/9\rangle=\langle -1/3,2/3,-2/3\rangle.$$

Passo 5

Finalmente, o binormal é o produto vetorial B=Ttimes N. Fazendo
$$\langle 2/3,2/3,1/3\rangle\times\langle -1/3,2/3,-2/3\rangle
=\langle -2/3,1/3,2/3\rangle.$$

Resposta

T(1)=lang<= 2/3,2/3,1/3rang<=,;N(1)=lang<= -1/3,2/3,-2/3rang<=,;B(1)=lang<= -2/3,1/3,2/3rang<=.

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