Seja C o gráfico da função f definida por f(x)=4 x^5 / 2. Calcule a curvatura de C em todo ponto.

Passo 1

Estamos com o gráfico de uma função no plano, definida por f(x)=4 x^{5/2}, e o que a gente precisa é encontrar a curvatura de C em cada ponto. Para isso, vamos usar a fórmula de curvatura de um gráfico y=f(x):
kappa(x)=|y''|l(1+(y')^2r)^3/2

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada f’(x). A regra de potência diz que
f'(x)=4 cdot 52 x^5/2-1=10 x^3/2

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada f’’(x) usando novamente a regra de potência:
f''(x)=10 cdot 32 x^3/2-1=15 x^1/2

Passo 4

Com f’(x) e f’’(x) em mãos, voltamos à fórmula de curvatura:
kappa(x)=|f''(x)|l(1+(f'(x))^2r)^3/2

Passo 5

Basta substituir f’(x)=10 x^{3/2} e f’’(x)=15 x^{1/2} na fórmula e simplificar:
kappa(x)=15raizxl(1+(10 x^3/2)^2r)^3/2=15raizxl(1+100x^3r)^3/2

Resposta

kappa(x)=15raizx(1+100x^3)^3/2.

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