Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado.
d xd t=12 x+9 y
d yd t=12 x+2 y

Passo 1

O sistema dado é de EDOs lineares de primeira ordem acopladas: temos as equações dot x=tfrac12x+9y e dot y=tfrac12x+2y. Para resolver, vamos reescrever no formato matricial e usar o método de autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevemos o sistema como dotu=Au, onde u=(x,y)^T e
A= tfrac12 & 9 tfrac12 & 2

Passo 3

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0:
det tfrac12-lambda & 9 tfrac12 & 2-lambda = (tfrac12-lambda)(2-lambda)-tfrac92 =0

Passo 4

Ao desenvolver,
(tfrac12-lambda)(2-lambda)-tfrac92=lambda^2-tfrac52lambda-tfrac72=0Multiplicando por 2 para facilitar:
2lambda^2-5lambda-7=0,cuja solução é
lambda=5pmraiz25+564=5pm94Portanto os autovalores são lambda1=tfrac72 e lambda2=-1.

Passo 5

Para lambda1=tfrac72, resolvemos (A-tfrac72I)v=0:
-3 & 9 tfrac12 & -tfrac32v1v2=0que dá a relação -3v1+9v2=0 ou v2=tfrac13v1. Um autovetor associado é v^(1)=(3,1)^T.

Passo 6

Para lambda2=-1, fazemos (A+I)v=0:
tfrac32 & 9 tfrac12 & 3v1v2=0levando a v2=-tfrac16v1. Um autovetor conveniente é v^(2)=(6,-1)^T.

Passo 7

Com autovalores e autovetores em mãos, a solução geral é combinação linear:
u(t)=C1 e^(7/2)tv^(1)+C2 e^-tv^(2)

Resposta

x(t)=3C_1e{\tfrac{7}{2}t}+6C_2e{-t},\y(t)=C_1e{\tfrac{7}{2}t}-C_2e{-t}

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