Seja
a região limitada pelos paraboloides
e
. Encontre o centroide de
.
Passo 1
Temos a região E limitada pelos paraboloides z = x² + y² (abrindo pra cima) e z = 36 – 3x² – 3y² (abrindo pra baixo). O conteúdo é cálculo de centróide de um sólido usando integrais triplas, e vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e a simetria do problema.
Passo 2
Para achar a projeção de E no plano xy, igualamos as superfícies:
Isso dá
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, z varia de z₁ = r² até z₂ = 36 – 3r². Pelo fato de E ser simétrico em x e y, temos
. Agora só falta
:
Calculamos o volume
Calculamos o volume
Passo 4
Fazendo a integral em r:
Então
Passo 5
Calculamos agora o momento em z:
Passo 6
Primeiro em z:
Passo 7
Portanto
Resposta
(0, 0, 15)