Seja E a região limitada pelos paraboloides z=x^2+y^2 e z=36-3 x^2-3 y^2. Encontre o centroide de E(de.

Passo 1

Temos a região E limitada pelos paraboloides z = x² + y² (abrindo pra cima) e z = 36 – 3x² – 3y² (abrindo pra baixo). O conteúdo é cálculo de centróide de um sólido usando integrais triplas, e vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e a simetria do problema.

Passo 2

Para achar a projeção de E no plano xy, igualamos as superfícies:
x^2 + y^2 = 36 - 3(x^2 + y^2)
Isso dá
4(x^2 + y^2) = 36,implies,r^2 = 9,implies,0 <= r <= 3,,0 <= theta <= 2pi

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, z varia de z₁ = r² até z₂ = 36 – 3r². Pelo fato de E ser simétrico em x e y, temos bar x=bar y=0. Agora só falta bar z:
Calculamos o volume
V = integral0^2piintegral0^3l[(36 - 3r^2) - r^2r]r,dr,dtheta = integral0^2piintegral0^3(36r - 4r^3),dr,dtheta

Passo 4

Fazendo a integral em r:
integral0^3(36r - 4r^3),dr = l[18r^2 - r^4r]0^3 = 18cdot9 - 81 = 81
Então
V = 2pi times 81 = 162pi

Passo 5

Calculamos agora o momento em z:
integral triplaE z,dV = integral0^2piintegral0^3integralr^2^36-3r^2 z,r,dz,dr,dtheta

Passo 6

Primeiro em z:
integralr^2^36-3r^2 z,dz = 12l[(36-3r^2)^2 - r^4r] = 12(1296 -216r^2 +8r^4)Multiplicando por r e integrando em r de 0 a 3 dá 1215. Em seguida,
integral triplaE z,dV = 2pi times 1215 = 2430pi

Passo 7

Portanto
bar z = 1Vintegral triplaE z,dV = 2430pi162pi = 15

Resposta

(0, 0, 15)

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