Encontre uma equação da reta tangente à curva parametrizada no ponto correspondente ao parâmetro dado
x=t^{4}+1, y=t^{3}+t, t=1

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada x(t)=t^4+1 e y(t)=t^3+t,
e pede a equação da reta tangente no ponto correspondente a t=1.
O conteúdo usado será o conceito de derivada de curva parametrizada, em que o declive da reta tangente é
\frac{dy}{dx} =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Passo 2

Calcular as coordenadas do ponto em t=1:
x(1)=1^4+1=2, \quad y(1)=1^3+1=2.
Logo, o ponto é (2,2).

Passo 3

Obter as derivadas em relação a t:
\frac{dx}{dt}=4t^3, \quad \frac{dy}{dt}=3t^2+1.
Em t=1:
\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=1}=4, \quad \frac{dy}{dt}\bigg|_{t=1}=3\cdot1^2+1=4.
Portanto, o declive da reta tangente é
m=\frac{dy/dt}{dx/dt}\bigg|_{t=1} =\frac{4}{4}=1.

Passo 4

Usar a forma ponto-declive da reta com m=1 e ponto (2,2):
y-2 = 1\,(x-2).
Simplificando, temos
y = x.

Resposta

y = x

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