Encontre uma equação da reta tangente à curva parametrizada no ponto correspondente ao parâmetro dado
x=t-\frac{1}{t}, y=1+t^{2}, t=\pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
x = t - \frac{1}{t},\qquad y = 1 + t^2
e pede a reta tangente no ponto correspondente a t = \pi. O conteúdo é “reta tangente a curva parametrizada” e vamos usar a fórmula do declive
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Passo 2

Primeiro, achamos as coordenadas do ponto substituindo t = \pi:
x_0 = \pi - \frac{1}{\pi}, \qquad y_0 = 1 + \pi^2.

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas em função de t:
\frac{dx}{dt} = 1 + \frac{1}{t^2}, \qquad \frac{dy}{dt} = 2t.
Para t = \pi:
\frac{dx}{dt}\Bigl|_{t=\pi} = 1 + \frac{1}{\pi^2}, \qquad \frac{dy}{dt}\Bigl|_{t=\pi} = 2\pi.

Passo 4

O declive da reta tangente é
m = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\pi}{1 + \tfrac{1}{\pi^2}} = \frac{2\pi^3}{\pi^2 + 1}.

Passo 5

Usando a forma ponto-declive da reta,
y - y_0 = m\bigl(x - x_0\bigr),
substituímos x_0, y_0 e m:
y - \bigl(1 + \pi^2\bigr) = \frac{2\pi^3}{\pi^2 + 1} \Bigl(x - \bigl(\pi - \tfrac{1}{\pi}\bigr)\Bigr).

Resposta

y - \bigl(1 + \pi^2\bigr) = \frac{2\pi^3}{\pi^2 + 1} \Bigl(x - \bigl(\pi - \tfrac{1}{\pi}\bigr)\Bigr).

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