Exercício 10. Calcule a curvatura, o raio de curvatura e o módulo da torção das curvas abaixo:
\vec{r}(t)=a \cos (t) \vec{i}+b \sin (t) \vec{k}, 0 \leq t \leq 2 \pi, a>0, b>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura, o raio de curvatura e o módulo da torção da curva \vec r(t)=a\cos(t)\,\vec i + b\sin(t)\,\vec k, com 0\le t\le2\pi e a>0, b>0.
O conteúdo principal é geometria diferencial de curvas em \mathbb R^3. Vamos usar as fórmulas
\kappa(t)=\frac{\bigl\lVert \vec r'(t)\times\vec r''(t)\bigr\rVert}{\lVert\vec r'(t)\rVert^3}, \quad \rho(t)=\frac1{\kappa(t)}, \quad \tau(t)=\frac{\bigl(\vec r'(t)\times\vec r''(t)\bigr)\!\cdot\!\vec r'''(t)}{\lVert \vec r'(t)\times\vec r''(t)\rVert^2}.

Passo 2

Calculemos as derivadas primeiras e segundas de \vec r(t).
\vec r'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(a\cos t,0,b\sin t\bigr) =\bigl(-a\sin t,\,0,\,b\cos t\bigr),
\vec r''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(-a\sin t,0,b\cos t\bigr) =\bigl(-a\cos t,\,0,\,-b\sin t\bigr).

Passo 3

Agora o produto vetorial e sua norma:
\vec r'(t)\times\vec r''(t) =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\\ -\,a\sin t & 0 & b\cos t\\\\ -\,a\cos t & 0 & -\,b\sin t \end{vmatrix} =(0,\,-a\,b,\,0),
\bigl\lVert \vec r'(t)\times\vec r''(t)\bigr\rVert =\lvert -ab\rvert =ab.

Passo 4

A velocidade é
\lVert\vec r'(t)\rVert =\sqrt{(-a\sin t)^2+(b\cos t)^2} =\sqrt{a^2\sin^2t + b^2\cos^2t}.

Passo 5

Aplicando a fórmula da curvatura:
\kappa(t) =\frac{ab}{\bigl(\sqrt{a^2\sin^2t + b^2\cos^2t}\bigr)^3} =\frac{ab}{\bigl(a^2\sin^2t + b^2\cos^2t\bigr)^{3/2}}.

Passo 6

O raio de curvatura é
\rho(t)=\frac1{\kappa(t)} =\frac{\bigl(a^2\sin^2t + b^2\cos^2t\bigr)^{3/2}}{ab}.

Passo 7

Como a curva está contida num plano (eixo y=0), sua torção é nula. Logo
\tau(t)=0,
e portanto \lvert\tau(t)\rvert=0.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{ab}{\bigl(a^2\sin^2t + b^2\cos^2t\bigr)^{3/2}}, \displaystyle \rho(t)=\frac{\bigl(a^2\sin^2t + b^2\cos^2t\bigr)^{3/2}}{ab}, \displaystyle |\tau(t)|=0.

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