Encontre o volume do corpo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do corpo definido pelas equações
,
e
. Estamos lidando com geometria analítica, mais especificamente com cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como essas superfícies se interceptam e configurar os limites de integração adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar as equações dadas:
-
representa um cilindro circular de raio 2, centrado no eixo z. -
é um plano inclinado. -
indica que estamos considerando apenas a parte do espaço acima do plano xy.
Para encontrar o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas porque o cilindro sugere essa escolha. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
A equação do cilindro se simplifica para
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
,
e
:
-
varia de 0 a 2 (raio do cilindro). -
varia em um intervalo onde o plano intersecta o cilindro e .
Para encontrar os limites de
, consideramos a projeção do plano no plano xy:
Isso acontece quando
, o que ocorre para
entre
e
.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos expressar o volume
como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Integrando em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 5
Integrando em relação a
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Aplicando os limites:
Sabendo que:
Substituindo:
Resposta
Substituindo de volta na expressão do volume:
Portanto, o volume do corpo é
unidades cúbicas.