Encontre o volume do corpo:
x^2+y^2=4, x+y+z=0, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do corpo definido pelas equações , e . Estamos lidando com geometria analítica, mais especificamente com cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como essas superfícies se interceptam e configurar os limites de integração adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar as equações dadas:
  1. x = r costheta, y = r sintheta, z = z representa um cilindro circular de raio 2, centrado no eixo z.
  2. é um plano inclinado.
  3. indica que estamos considerando apenas a parte do espaço acima do plano xy.
Para encontrar o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas porque o cilindro sugere essa escolha. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
A equação do cilindro se simplifica para .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para x + y <= 0 Rightarrow r (costheta + sintheta) <= 0 , e :
  • varia de 0 a 2 (raio do cilindro).
  • varia em um intervalo onde o plano intersecta o cilindro e .
Para encontrar os limites de , consideramos a projeção do plano no plano xy:
Isso acontece quando , o que ocorre para entre e .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos expressar o volume V = integral3pi4^7pi4 integral0^2 integral0^-r(costheta + sintheta) r , dz , dr , dtheta como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral0^-r(costheta + sintheta) dz = -r(costheta + sintheta)
Integrando em relação a V = integral3pi4^7pi4 integral0^2 -r^2 (costheta + sintheta) , dr , dtheta primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 5

Integrando em relação a integral0^2 -r^2 (costheta + sintheta) , dr = -(costheta + sintheta) [ r^33 ]0^2 = -(costheta + sintheta) ( 83 ) :
V = -83 integral3pi4^7pi4 (costheta + sintheta) , dtheta
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral (costheta + sintheta) , dtheta = sintheta - costheta :
[ sintheta - costheta ]3pi4^7pi4 = ( sin(7pi4) - cos(7pi4) ) - ( sin(3pi4) - cos(3pi4) )
Aplicando os limites:
sin(7pi4) = -raiz22, cos(7pi4) = raiz22
Sabendo que:
sin(3pi4) = raiz22, cos(3pi4) = -raiz22
( -raiz22 - raiz22 ) - ( raiz22 - (-raiz22) ) = -raiz2 - raiz2 = -2raiz2
Substituindo:

Resposta

Substituindo de volta na expressão do volume:
V = -83 times (-2raiz2) = 16raiz23
Portanto, o volume do corpo é unidades cúbicas.

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